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 证明：如答图，连接$DF.$

 $\because$点$D,E,F$分别是$AB,BC,CA$的中点，

 $\therefore DE = \frac{1}{2}AC，$$EF = \frac{1}{2}AB.$

 $\because AH$是高，点$D,F$分别是$AB,CA$的中点，

 $\therefore FH=\frac{1}{2}AC，$$DH = \frac{1}{2}AB.$$\therefore EF = DH，$$ED = FH.$

 又$\because DF = FD，$$\therefore \triangle DHF\cong\triangle FED(SSS).$

 $\therefore\angle DHF=\angle DEF.$

 (1)证明：如答图，连接$DE,MN.$

 $\because BD,CE$分别是$\triangle ABC$的中线，

 $\therefore E,D$分别是$AB,AC$的中点.$\therefore DE// BC，$$DE=\frac{1}{2}BC.$

 $\because M,N$分别为$OB,OC$的中点，$\therefore MN// BC，$$MN = \frac{1}{2}BC.$$\therefore DE = MN，$$DE// MN.$$\therefore$四边形$DEMN$是平行四边形.$\therefore MD$和$NE$互相平分.

 (2)解：$\because BD\perp AC，$$\therefore\angle ODC = 90^{\circ}.$

 $\therefore OC^{2}=OD^{2}+CD^{2}.$$\because OD + CD = 7，$

 $\therefore(OD + CD)^{2}=49，$即$OD^{2}+2OD\cdot CD + CD^{2}=49.$

 又$\because OC^{2}=32，$$\therefore 2OD\cdot CD = 49 - 32 = 17.$

由

 (1)知$OD = OM，$而$M$是$OB$的中点，$\therefore OB = 2OD，$

 $\therefore S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}OB\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 2OD\cdot CD=\frac{17}{2}.$

 (1)证明：如答图，连接$AE,CD，$交于点$F，$

 易证$\triangle ABE\cong\triangle CBD，$$\therefore AE = CD，$

 由中位线的性质可得$OM// AE，$$OM=\frac{1}{2}AE，$$ON// CD，$$ON=\frac{1}{2}CD，$$\therefore OM = ON.$

 (2)解：由$\triangle ABE\cong\triangle CBD$得$\angle BAE=\angle BCD，$

 $\therefore\angle ACF+\angle CAF=\angle ACB+\angle CAB = 120^{\circ}，$

 $\therefore\angle AFC = 60^{\circ}，$$\because OM// AE，$$ON// CD，$

 $\therefore\angle MON=\angle AFC = 60^{\circ}.$