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$解:方程两边同乘x(x+3)，得\ $
$2(x+3)+x^2=x(x+3)，解得x=6，\ $
$检验:当x=6时，x(x+3)≠0，\ $
$∴x=6是原方程的解.$

$解:去分母，得(x+1)-2(x-1)=4，$
$解得x=-1.$
$ 检验:当x=-1时，x^2-1=1-1=0，$
$ 故x=-1是原方程的增根，原方程无解.$
解：
(3)去分母，得$x(x - 3)+3(x + 2)=(x + 2)(x - 3)，$
$x^{2}-3x + 3x + 6 = x^{2}-x - 6，$
移项得$x^{2}-x^{2}+x=-6 - 6，$
解得$x = -12。$
检验：当$x = -12$时，$(x + 2)(x - 3)=(-12 + 2)\times(-12 - 3)=(-10)\times(-15)=150\neq0，$$\therefore x = -12$是原方程的解。
解：
(4)去分母，得$1 + x - 1 = 3x - 6，$
移项、合并同类项得$3x - x = 6，$
$2x = 6，$
解得$x = 3。$
检验：当$x = 3$时，$x - 2=3 - 2 = 1\neq0，$$\therefore x = 3$是原方程的解。
解：
(1)由题意得$\frac{x}{x + 2}=2，$
方程两边同乘$x + 2$得$x = 2(x + 2)，$
$x = 2x + 4，$
移项得$2x - x = -4，$
解得$x = -4。$
经检验，当$x = -4$时，$x + 2=-4 + 2=-2\neq0，$$x = -4$是原方程的解，故$x$的值为$-4。$
(2)由题意得$\frac{x}{x + 2}-\frac{1}{2x + 4}=\frac{1}{2x + 4}-(-2)，$
方程两边同乘$2(x + 2)$得$2x - 1 = 1 + 4(x + 2)，$
$2x - 1 = 1 + 4x + 8，$
移项得$4x - 2x=-1 - 1 - 8，$
$2x = -10，$
解得$x = -5。$
检验：当$x = -5$时，$2(x + 2)=2\times(-5 + 2)=-6\neq0，$
$\therefore x = -5$是原方程的解，$\therefore x$的值为$-5。$
解：
(1)把$m = 4$代入方程$\frac{2}{x - 1}-\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}，$得$\frac{2}{x - 1}-\frac{4x}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}，$
方程两边都乘$(x - 1)(x + 2)，$得$2(x + 2)-4x = x - 1，$
$2x + 4 - 4x = x - 1，$
移项得$4x + x - 2x = 4 + 1，$
$3x = 5，$
解得$x = \frac{5}{3}。$
检验：当$x = \frac{5}{3}$时，$(x - 1)(x + 2)=(\frac{5}{3}-1)\times(\frac{5}{3}+2)=\frac{2}{3}\times\frac{11}{3}=\frac{22}{9}\neq0，$
所以$x = \frac{5}{3}$是原方程的解，即$m = 4$时，方程的解是$x = \frac{5}{3}。$
(2)$\frac{2}{x - 1}-\frac{mx}{(x - 1)(x + 2)}=\frac{1}{x + 2}，$方程两边都乘$(x - 1)(x + 2)，$得$2(x + 2)-mx = x - 1$①，
整理得$(1 - m)x = -5$②。
第一种情况：当$x - 1 = 0$时，方程无解，此时$x = 1，$
把$x = 1$代入②，得$1 - m = -5，$解得$m = 6；$
第二种情况：当$x + 2 = 0$时，方程无解，此时$x = -2，$
把$x = -2$代入②，得$-2(1 - m)= -5，$解得$m = -\frac{3}{2}；$
第三种情况：$\because(1 - m)x = -5，$
$\therefore$当$1 - m = 0$时，方程无解，此时$m = 1。$
综上可知，$m = 6$或$-\frac{3}{2}$或$1。$

$解:(1)把x=3代入方程 \frac{2x}{x-2} + \frac{m}{x-2} =3，得6+m=3， ∴m=- 3.$
$(2)方程的增根为x=2，又2x+m=3x-6，∴m=-4.$
$(3)去分母，得2x+m=3x-6，解得x=m+6.$
$∵x＞0，∴m+6＞0，解得m＞-6.$
$∵x≠2，即m+6≠2，∴m≠-4，$
$∴m的取值范围是m＞-6且m≠-4.$
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