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C
解：
(1)把$B(-4,0)$代入一次函数$y = kx + 2(k\neq0)$中得
$-4k + 2 = 0，$$\therefore k=\frac{1}{2}，$$\therefore$一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x + 2，$
把$A(a,3)$代入一次函数$y=\frac{1}{2}x + 2$中，得$3=\frac{1}{2}a + 2，$
解得$a = 2，$$\therefore A(2,3).$
把$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}(x\gt0)$中得$3=\frac{m}{2}，$解得$m = 6.$
(2)如答案图，连接$OA.$

由
(1)得直线$AB$的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x + 2，$
在$y=\frac{1}{2}x + 2$中，令$x = 0，$则$y = 2，$$\therefore C(0,2)，$$\therefore OC = 2，$
$\because OP// AB，$
$\therefore S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}OC\cdot x_{A}=\frac{1}{2}\times2\times2 = 2.$
解：
(1)将点$A，$$B$的坐标分别代入反比例函数表达式，得
$k = 4\times1 = 4，$$k=-n，$解得$k = 4，$$n=-4，$
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}，$点$B(-4,-1).$
将点$A，$$B$的坐标分别代入一次函数表达式，得
$\begin{cases}4 = a + b\\-1=-4a + b\end{cases}，$解得$\begin{cases}a = 1\\b = 3\end{cases}，$
则一次函数的表达式为$y = x + 3.$
(2)观察函数图像知，不等式$ax + b\lt\frac{k}{x}$的解集为$0\lt x\lt1$或$x\lt - 4.$
(3)设点$C$的坐标为$(m,\frac{4}{m})，$点$D(x,0)，$当$AB$为对角线时，由中点坐标公式得$4 - 1=\frac{4}{m}，$解得$m=\frac{4}{3}，$
则点$C(\frac{4}{3},3)；$当$AC$或$AD$为对角线时，同理可得$4+\frac{4}{m}=-1$或$4=\frac{4}{m}-1，$解得$m=\pm\frac{4}{5}，$
则点$C$的坐标为$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5).$
综上，点$C$的坐标为$(\frac{4}{3},3)$或$(-\frac{4}{5},-5)$或$(\frac{4}{5},5).$
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