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第83页

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$75^{\circ}$

$\sqrt{5}-1$

 解：连接$OB，$交$AC$于点$D。$

 因为四边形$ABCO$是菱形，所以$OA = AB，$$OB\perp AC，$$AC = 2AD。$

 又因为$OA = OB，$所以$OA = OB = AB。$

 所以$\triangle AOB$是等边三角形，所以$\angle AOB = 60^{\circ}。$

 在$Rt\triangle AOD$中，$\angle OAD = 90^{\circ}-\angle AOD = 30^{\circ}，$$OA = 6，$所以$OD = \frac{1}{2}OA = 3。$

 根据勾股定理$AD = \sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}} = 3\sqrt{3}。$

 所以$AC = 2AD = 6\sqrt{3}。$

 （1）解：连接$OQ。$

 因为$PQ// AB，$$PQ\perp OP，$所以$OP\perp AB。$

 因为$AB = 6，$所以$OB = 3。$

 因为$\angle ABC = 30^{\circ}，$所以$PB = 2OP。$

 设$OP = x，$则$PB = 2x。$

 在$Rt\triangle PBO$中，根据勾股定理$PB^{2}=OP^{2}+OB^{2}，$即$(2x)^{2}=x^{2}+3^{2}，$

 $4x^{2}=x^{2}+9，$

 $3x^{2}=9，$

 $x^{2}=3，$

 解得$x_{1}=\sqrt{3}，$$x_{2}=-\sqrt{3}$（不合题意，舍去）。

 所以$OP = \sqrt{3}。$

 在$Rt\triangle POQ$中，$OQ = OB = 3，$由勾股定理得$PQ = \sqrt{OQ^{2}-OP^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{9 - 3}=\sqrt{6}。$

 （2）解：连接$OQ。$

 由勾股定理，得$PQ = \sqrt{OQ^{2}-OP^{2}}=\sqrt{9 - OP^{2}}。$

 要使$PQ$的长取最大值，则$OP$的长取最小值，此时$OP\perp BC。$

 因为$\angle ABC = 30^{\circ}，$所以$OP = \frac{1}{2}OB = \frac{3}{2}。$

 所以$PQ$长的最大值为$\sqrt{9 - (\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}。$