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$解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b$

$由题意，得\begin{cases}{100k+b=300\ } \\ { 120k+b=200} \end{cases},解得\begin{cases}{ k=-5} \\ {b=800\ } \end{cases}$

$∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800$

$(2)由题意,得\begin{cases}{ x≥100} \\ { -5x+800≥200} \end{cases},∴100≤x≤116$

$设商场所获利润为w元$

$由题意，得w=(x-80)(−5x+800)=−5x²+1200x−64000=−5(x−120)²+8000$

$又∵−5＜0,100≤x≤116$

$∴当x=116时，利润最大，最大值为7920$

$∴当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元$

$解:(1)存在和谐点$

$设函数y=2x+1的图象上的和谐点的坐标为(x,x)$

$∴2x+1=x,解得x=−1$

$∴和谐点的坐标为(−1,−1)$

$(2)①∵ (\frac{5}{2},\frac{5}{2})是二次函数y=ax²+6x+c(a≠0)的图象上的和谐点$

$∴ \frac{5}{2}=\frac{25}{4}a+15+c,∴c=−\frac{25}{4}a−\frac{25}{2}$

$∵二次函数y=ax²+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点$

$∴ax²+6x+c=x,即ax²+5x+c=0有且只有一个根$

$∴△=25−4ac=0$

$又∵c=−\frac{25}{4}a−\frac{25}{2},∴a=−1,c=−\frac{25}{4}$

$ ②由①,知y=−x²+6x−6=−(x−3)²+3$

$∴抛物线的对称轴为直线x=3$

$当x=1时,y=−1;当x=3时,y=3;当x=5时,y=−1$

$∵函数的最大值为3，最小值为−1,∴3≤m≤5$