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$解：（1）\ 因为a\lt1，所以-12a\gt - 12$

$对于方程ax^2 - 4x + 3 = 0（a\neq0）$

$其判别式\Delta = (-4)^2 - 4a\times3 = 16 - 12a$

$因为-12a\gt - 12，所以16 - 12a\gt 16 - 12 = 4\gt0$

$所以方程ax^2 - 4x + 3 = 0（a\neq0）有两个不相等的实数根$

$（2）\ 令y = ax^2 - 4x + 3，由1\lt x_1\lt2，2\lt x_2\lt3知，x_1，x_2均大于0$

$则x_1\cdot x_2=\frac{3}{a}\gt0，所以a\gt0$

$由题意可知，当x = 1和x = 3时，y\gt0；当x = 2时，y\lt0$

$即\begin{cases}a - 4 + 3\gt0\\9a - 12 + 3\gt0\\4a - 8 + 3\lt0\end{cases}，所以1\lt a\lt\frac{5}{4}$