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$\ 解：（1）由题意，得二次函数图象的对称轴为直线x = -\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}，所以b = 1$

$又因为图象经过点A(-2,5)，所以4 - 2 + c = 5，解得c = 3$

$所以二次函数的解析式为y = x^2 + x + 3$

$（2）将点B(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移m（m\gt0）个单位长度，平移后的点的坐标为(1 - m,9)$

$又因为点(1 - m,9)在函数y = x^2 + x + 3的图象上，所以9=(1 - m)^2+(1 - m)+3$

9&=1 - 2m + m^2 + 1 - m + 3m^2 - 3m - 4&=0(m - 4)(m + 1)&=0\ 解得m = 4或m = -1（舍去）

$所以m = 4$

$（3）y = x^2 + x + 3=(x + \frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}$

$当x = -\frac{1}{2}时，y有最小值，为\frac{11}{4}$

$当x = 1时，y = 5$

$当-2\leqslant n\lt -\frac{1}{2}时，最大值与最小值的差为5 - [(n + \frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}]=\frac{9}{4}$

$n_1 = n_2 = -\frac{1}{2}，不符合题意，舍去$

$当-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1时，最大值与最小值的差为5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}，符合题意$

$当n\gt1时，最大值与最小值的差为(n + \frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}$

$解得n_3 = 1或n_4 = -2，都不符合题意，舍去$

$综上所述，n的取值范围是-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$