解: （1）因为抛物线$y = ax^{2}-6ax + 5a$与$x$轴交于$A，$$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），
令$y = 0，$得$ax^{2}-6ax + 5a = 0，$$a(x^{2}-6x + 5)=0，$$a(x - 1)(x - 5)=0，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=5。$
所以$A(1,0)，$$B(5,0)。$
（2）因为抛物线$y = ax^{2}-6ax + 5a$与$y$轴交于点$C，$令$x = 0，$$y = 5a。$所以点$C$的坐标为$(0,5a)。$
因为$a\lt0，$所以$OC=-5a。$由（1），得$OA = 1，$$AB = 4，$当$a\lt0$时，$\triangle ABC$为钝角三角形，所以$AC = AB = 4$（如图①）。
在$Rt\triangle AOC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=OA^{2}+OC^{2}，$即$4^{2}=1^{2}+(-5a)^{2}，$
$16 = 1 + 25a^{2}，$
$25a^{2}=15，$
$a^{2}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}，$
解得$a=\pm\frac{\sqrt{15}}{5}。$因为$a\lt0，$所以$a = -\frac{\sqrt{15}}{5}。$
（3）对于直线$y = -\frac{1}{2}x + 3，$令$y = 0，$则$-\frac{1}{2}x + 3 = 0，$解得$x = 6，$所以$E(6,0)。$令$x = 0，$则$y = 3，$所以$F(0,3)。$
①当$a\gt0$时，由（1）可知，抛物线与$x$轴交于点$A(1,0)，$$B(5,0)，$而点$E(6,0)$在点$B$的右侧，所以要使抛物线与线段$EF$有两个交点，则抛物线与$y$轴的交点在点$F$处或点$F$的上方（如图②）。
把$x = 0$代入$y = ax^{2}-6ax + 5a，$得$y = 5a，$所以$5a\geq3，$解得$a\geq\frac{3}{5}。$
②当$a\lt0$时，如图③，由$\begin{cases}y = ax^{2}-6ax + 5a\\y = -\frac{1}{2}x + 3\end{cases}$得$ax^{2}-6ax + 5a = -\frac{1}{2}x + 3。$
整理，得$ax^{2}+(\frac{1}{2}-6a)x + 5a - 3 = 0。$
要使抛物线与线段$EF$有两个交点，则$\Delta = (\frac{1}{2}-6a)^{2}-4a(5a - 3)\gt0，$
$\frac{1}{4}-6a + 36a^{2}-20a^{2}+12a\gt0，$
$16a^{2}+6a+\frac{1}{4}\gt0，$
结合函数图象，易得$a\lt\frac{-\sqrt{5}-3}{16}$或$a\gt\frac{\sqrt{5}-3}{16}$（此时交点在线段$FE$的延长线上，舍去）。
综上所述，$a$的取值范围是$a\geq\frac{3}{5}$或$a\lt\frac{-\sqrt{5}-3}{16}。$
