解: （2）成立。理由：如图①，连接$AF。$由旋转可知，$EA = EF，$$\angle AEF = 60^{\circ}，$所以$\triangle AEF$为等边三角形。
所以$\angle FAE = 60^{\circ}，$$AE = AF。$因为$\triangle ABC$为等边三角形，
所以$\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}，$$AB = AC。$
所以$\angle BAC+\angle CAE=\angle EAF+\angle CAE，$即$\angle BAE=\angle CAF。$
所以$\triangle ABE\cong\triangle ACF。$
所以$BE = CF，$$\angle ABC=\angle ACF = 60^{\circ}。$
所以$\angle FCN = 180^{\circ}-\angle ACF-\angle ACB = 60^{\circ}，$即线段$CF$与直线$MN$所夹锐角的度数为$60^{\circ}。$
（3）设$BE = x。$
①当点$E$在线段$BC$上时，如图②，过点$F$作$FH\perp CD$于点$H，$作$FG\perp MN$于点$G。$在正方形$ABCD$中，$\angle BCD = 90^{\circ}。$所以$\angle FHC=\angle HCG=\angle CGF = 90^{\circ}。$
所以四边形$CGFH$是矩形。与（2）同理，易得$\triangle ABE\cong\triangle EGF。$
所以$AB = EG，$$BE = GF。$所以$AB - EC = EG - EC，$即$BE = CG。$
所以$GF = CG。$所以四边形$CGFH$为正方形。所以$BE = FG = CH = FH = x。$
所以$DH = CD - CH = 2 - x。$在$Rt\triangle DHF$中，$DH^{2}+FH^{2}=DF^{2}，$即$(2 - x)^{2}+x^{2}=10，$
$4 - 4x+x^{2}+x^{2}=10，$
$2x^{2}-4x - 6 = 0，$
$x^{2}-2x - 3 = 0，$
$(x - 3)(x + 1)=0，$
解得$x_{1}=3，$$x_{2}=-1$（舍去）。
因为点$E$在线段$BC$上，所以$BE\lt2，$所以$BE = 3$不合题意，舍去。
②如图③，当点$E$在线段$BC$的延长线上时，过点$F$作$FG\perp MN$于点$G，$过点$D$作$DH\perp FG$于点$H。$同理，可得$FG = DH = CG = BE = x，$$FH = FG - GH = x - 2。$在$Rt\triangle DHF$中，$FH^{2}+DH^{2}=DF^{2}，$即$(x - 2)^{2}+x^{2}=10，$
$x^{2}-4x + 4+x^{2}=10，$
$2x^{2}-4x - 6 = 0，$
$x^{2}-2x - 3 = 0，$
$(x - 3)(x + 1)=0，$
解得$x_{1}=3，$$x_{2}=-1$（舍去）。所以$BE = 3。$
③如图④，当点$E$在线段$CB$的延长线上时，过点$F$作$FG\perp MN$于点$G，$作$FH\perp DC，$交$DC$的延长线于点$H。$同理，可得$BE = FG = FH = CH = x，$$DH = CD + CH = x + 2。$在$Rt\triangle DHF$中，$DH^{2}+FH^{2}=DF^{2}，$即$(x + 2)^{2}+x^{2}=10，$
$x^{2}+4x + 4+x^{2}=10，$
$2x^{2}+4x - 6 = 0，$
$x^{2}+2x - 3 = 0，$
$(x + 3)(x - 1)=0，$
解得$x_{1}=1，$$x_{2}=-3$（舍去）。所以$BE = 1。$
综上所述，线段$BE$的长为1或3。
