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第49页

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$p$

$1$

解: (2) 因为$x_1 + x_2 = p，$$x_1x_2 = 1，$所以$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=p。$

 因为$x_1^2 - px_1 + 1 = 0，$所以$x_1^2+1 = px_1。$

 因为$x_1\neq0，$所以$x_1+\frac{1}{x_1}=p。$

 (3) 因为$x_1 + x_2 = p，$$x_1x_2 = 1，$所以$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2=p^2 - 2。$

 又$x_1^2 + x_2^2 = 2p + 1，$所以$p^2 - 2 = 2p + 1，$

 即$p^2-2p - 3 = 0，$因式分解得$(p - 3)(p + 1)=0，$解得$p_1 = 3，$$p_2 = -1。$

 当$p = 3$时，原方程为$x^2 - 3x + 1 = 0。$

 因为$\Delta=(-3)^2 - 4\times1\times1 = 9 - 4 = 5＞0，$所以$p = 3$符合题意；

 当$p = -1$时，原方程为$x^2 + x + 1 = 0。$

 因为$\Delta=1^2 - 4\times1\times1 = 1 - 4 = -3＜0，$所以$p = -1$不合题意，舍去。

 综上所述，$p$的值为$3。$

解: (1) 由题意，得被污染处的人数为$50 - 3 - 6 - 11 - 13 - 6 = 11。$

 因为全班平均每人捐款$38$元，设被污染处的金额为$x$元。

 则$38\times50=10\times3 + 15\times6 + 30\times11 + 11x + 50\times13 + 60\times6，$

 $1900 = 30 + 90 + 330 + 11x + 650 + 360，$

 $1900 = 1460 + 11x，$

 $11x = 1900 - 1460 = 440，$

 解得$x = 40。$

 所以被污染处的数据为$40。$

 (2) 因为捐款$50$元的人数最多，所以该班捐款金额的众数为$50$元。

 将这$50$名同学的捐款金额按从小到大的顺序排列，因为处于中间位置的两个数据为$40$元、$40$元，

 所以该班捐款金额的中位数为$\frac{1}{2}\times(40 + 40)=40$（元）。

$\frac{1}{3}$

解:(2) 列表如下： 由表格可知，共有$9$种等可能的结果，其中能连接成一根长绳的结果有$(AB,B_1C_1)，$$(AB,A_1C_1)，$$(BC,A_1B_1)，$$(BC,A_1C_1)，$$(AC,A_1B_1)，$$(AC,B_1C_1)，$共$6$种，

 所以所求概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}。$