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解: (1) ① 解方程$x^2 - 4x - 5 = 0，$因式分解得$(x - 5)(x + 1)=0，$
则$x - 5 = 0$或$x + 1 = 0，$解得$x_1 = 5，$$x_2 = -1。$
因为$|x_1 - x_2|=|5 - (-1)| = 6，$所以该方程不是“差根方程”。
② 解方程$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0，$根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}，$其中$a = 2，$$b=-2\sqrt{3}，$$c = 1，$
则$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{(-2\sqrt{3})^2 - 4\times2\times1}}{2\times2}=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{12 - 8}}{4}=\frac{2\sqrt{3}\pm2}{4}=\frac{\sqrt{3}\pm1}{2}，$
所以$x_1=\frac{\sqrt{3}+1}{2}，$$x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}。$
因为$|x_1 - x_2|=\left|\frac{\sqrt{3}+1}{2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right| = 1，$所以该方程是“差根方程”。
(2) 解方程$x^2 + 2mx = 0，$提取公因式得$x(x + 2m)=0，$
则$x = 0$或$x + 2m = 0，$解得$x_1 = 0，$$x_2 = -2m。$
因为该方程是“差根方程”，所以$|x_1 - x_2| = 1，$即$|2m| = 1，$解得$m=\pm\frac{1}{2}。$
故$m$的值为$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}。$
(3) 设$x_1，$$x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的两个实数根，
根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}，$$x_1x_2 = \frac{1}{a}。$
因为该方程是“差根方程”，所以$|x_1 - x_2| = 1，$所以$|x_1 - x_2|^2 = 1，$
即$(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = 1，$所以$\frac{b^2}{a^2}-\frac{4}{a}=1，$
等式两边同乘$a^2$得$b^2 - 4a = a^2，$所以$a$与$b$之间的数量关系为$b^2 = a^2 + 4a。$
证明: (1) 过点$A$作$AG\perp DC$于点$G，$则$\angle AGD = 90^{\circ}。$
因为$\angle D = 45^{\circ}，$所以$\angle DAG = 90^{\circ}-\angle D = 45^{\circ}，$所以$\angle DAG=\angle D，$所以$AG = DG。$
根据勾股定理$AD=\sqrt{AG^2 + DG^2}=\sqrt{2}AG。$
因为$AD = 2\sqrt{2}，$所以$\sqrt{2}AG = 2\sqrt{2}，$解得$AG = 2。$
因为$\odot A$的半径为$2，$所以$AG$为$\odot A$的半径。
又因为$AG\perp DC，$所以直线$DC$与$\odot A$相切。
$ (3) 能从剩下的纸片中剪出一个圆作为该圆锥的底面。理由如下： $
因为$AB// DC，$$\angle D = 45^{\circ}，$所以$\angle BAD = 180^{\circ}-\angle D = 135^{\circ}。$
因为$\odot A$的半径为$2，$所以$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{135\pi\times2}{180}=\frac{3\pi}{2}。$
所以以扇形$AEF$为侧面的圆锥的底面圆的半径为$\frac{3\pi}{2}\div2\pi=\frac{3}{4}。$
设$\odot A$的切线$BM$与$CD$交于点$P，$连接$AM，$则$\angle AMB = 90^{\circ}。$
因为$AB = 2\sqrt{2}，$$AM = 2，$所以$BM=\sqrt{AB^2 - AM^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 2^2}=\sqrt{8 - 4}=2，$所以$AM = BM。$
所以$\angle BAM=\angle ABM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AMB)=45^{\circ}，$
所以$\angle DAM=\angle BAD-\angle BAM = 135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}，$所以$\angle AMB=\angle DAM，$所以$AD// BP，$
所以$\angle BPC=\angle D = 45^{\circ}，$四边形$ABPD$为平行四边形，所以$BP = AD = 2\sqrt{2}。$
因为$BC = 2\sqrt{2}，$所以$BC = BP，$所以$\angle C=\angle BPC = 45^{\circ}，$所以$\angle PBC = 180^{\circ}-\angle BPC-\angle C = 90^{\circ}。$
所以$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}BC\cdot BP=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=4，$$CP=\sqrt{BC^2 + BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{8 + 8}=4。$
设$\triangle PBC$的内切圆的半径为$r，$则$S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}(BC + BP + CP)r，$
即$\frac{1}{2}\times(2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4)r = 4，$$(4\sqrt{2}+4)r = 8，$$r=\frac{8}{4\sqrt{2}+4}=\frac{8(4\sqrt{2}-4)}{(4\sqrt{2}+4)(4\sqrt{2}-4)}=\frac{32\sqrt{2}-32}{32 - 16}=2\sqrt{2}-2。$
因为$2\sqrt{2}-2\approx2\times1.414 - 2 = 0.828＞\frac{3}{4}，$所以能从剩下的纸片中剪出一个圆作为该圆锥的底面。
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