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解: (1) 设第二周每千克草莓的销售价格为$x$元，则第一周每千克草莓的销售价格为$(x + 10)$元.
由题意，得第一周草莓的销量为$180\times\frac{4}{4 + 5}=80(kg)，$第二周草莓的销量为$180\times\frac{5}{4 + 5}=100(kg)，$则$80(x + 10)+100x = 11600，$
$80x+800 + 100x = 11600，$
$180x = 11600 - 800，$
$180x = 10800，$
解得$x = 60.$
故第二周每千克草莓的销售价格为$60$元.
(2) 由题意，得第三周草莓的销量为$100\times(1 + 20\%) = 120(kg)，$则通过会员优惠活动购买的销量为$120\times\frac{a}{6}=20a(kg)，$
所以$20a(60 - a)+60(120 - 20a)=6200 + 100a.$
$1200a-20a^{2}+7200 - 1200a = 6200 + 100a.$
$-20a^{2}-100a + 1000 = 0.$
$a^{2}+5a - 50 = 0.$
$(a - 5)(a + 10)=0.$
解得$a_1 = 5，$$a_2 = -10$（不合题意，舍去）.
故$a$的值为$5.$
证明: (1) 因为$OF\perp AD，$所以$AF = DF.$
因为$OB = OD，$所以$OF$为$\triangle ABD$的中位线，所以$OF=\frac{1}{2}AB.$
因为$AC\perp BD，$$BD$为$\odot O$的直径，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}，$所以$AB = BC，$所以$OF=\frac{1}{2}BC.$
(2) 作直径$DG，$连接$AG，$则$\angle DAG = 90^{\circ}.$
由
(1)，得$OF=\frac{1}{2}AG.$
因为$AC\perp BD，$所以$\angle DEC = 90^{\circ}，$所以$\angle DCE+\angle CDE = 90^{\circ}.$
因为$\angle G+\angle ADG = 90^{\circ}，$$\angle DCE = \angle G，$所以$\angle ADG = \angle CDE，$所以$\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BC}，$所以$AG = BC，$所以$OF=\frac{1}{2}BC.$
(3) 取$AD$的中点$H，$连接$MH.$
因为$AD = 12，$所以$AH=\frac{1}{2}AD = 6.$
因为$\angle AED = 60^{\circ}，$所以$\angle CED = 180^{\circ}-\angle AED = 120^{\circ}.$
因为$AF = BC，$所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BC}，$所以$\angle ADF = \angle BDC.$
因为$\angle DAF+\angle ADF+\angle AFD = 180^{\circ}，$$\angle CED+\angle BDC+\angle ACD = 180^{\circ}，$$\angle AFD = \angle ACD，$所以$\angle DAF = \angle CED = 120^{\circ}.$
因为$M$为$DF$的中点，所以$HM$为$\triangle ADF$的中位线，所以$HM// AF，$所以点$M$在经过点$H$且与$AF$平行的直线上运动，所以当$AM\perp HM$时，$AM$的长取最小值，此时$\angle MAF = \angle AMH = 90^{\circ}，$所以$\angle HAM=\angle DAF-\angle MAF = 30^{\circ}，$所以$HM=\frac{1}{2}AH = 3，$所以$AM=\sqrt{AH^{2}-HM^{2}} = 3\sqrt{3}，$所以$AM$长的最小值为$3\sqrt{3}.$
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