解：（1）如图，连接$OC。$
因为$PC$是$\odot O$的切线，所以$OC\perp PC，$所以$\angle PCO = 90^{\circ}，$所以$\angle OCA + \angle PCA = 90^{\circ}。$
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle OAC + \angle ABC = 90^{\circ}。$
因为$OA = OC，$所以$\angle OCA = \angle OAC，$所以$\angle PCA=\angle ABC。$
（2）如图，因为$\angle P = 40^{\circ}，$所以$\angle AOC = 90^{\circ}-\angle P = 50^{\circ}。$
因为$AB = 12，$所以$OA=\frac{1}{2}AB = 6。$
分类讨论如下：
①当$\angle AOQ_1 = \angle AOC = 50^{\circ}$时，$\triangle ABQ_1$与$\triangle ABC$的面积相等，此时动点$Q$经过的弧长为$\frac{50\pi\times6}{180}=\frac{5\pi}{3}；$
②当$\angle BOQ_2 = \angle AOC = 50^{\circ}，$即$\angle AOQ_2 = 130^{\circ}$时，$\triangle ABQ_2$与$\triangle ABC$的面积相等，此时动点$Q$经过的弧长为$\frac{130\pi\times6}{180}=\frac{13\pi}{3}；$
③当$\angle BOQ_3 = 50^{\circ}，$即$\angle AOQ_3 = 130^{\circ}$时，$\triangle ABQ_3$与$\triangle ABC$的面积相等，此时动点$Q$经过的弧长为$\frac{(360 - 130)\pi\times6}{180}=\frac{23\pi}{3}。$
综上所述，当$\triangle ABQ$与$\triangle ABC$的面积相等时，动点$Q$经过的弧长为$\frac{5\pi}{3}$或$\frac{13\pi}{3}$或$\frac{23\pi}{3}。$
