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D
C
$\frac{2}{3}$
12.5
1或$\frac{4}{3}$
16°
解：​$(1)$​∵​$ AB = AC，$​∴​$ ∠B = ∠C$​
∵​$ ∠ADC$​是​$∆ABD$​的外角
∴​$ ∠ADC = ∠B + ∠BAD，$​即​$∠ADE + ∠CDE = ∠B + ∠BAD$​
∵​$ ∠B = 40°，$​​$∠ADE = 40°，$​∴​$ ∠CDE = ∠BAD$​
∵​$ AB = 2，$​​$DC = 2，$​∴​$ AB = DC$​
在​$∆ABD$​和​$∆DCE$​中
​$\begin {cases}∠BAD = ∠CDE\\AB = DC\\∠B = ∠C\end {cases}$​
∴​$ ∆ABD≌∆DCE(AS A)$​
​$(2)$​当​$∠BAD$​的度数为​$30°$​或​$60°$​时，​$∆ADE$​是等腰三角形，理由：
∵​$ $​在​$∆ABC$​中，​$AB = AC，$​∴​$ ∠B = ∠C = 40°$​
​$① $​若​$AD = AE，$​则​$∠AED = ∠ADE = 40°$​
∵​$ ∠AED$​是​$∆DEC$​的外角，∴​$ ∠AED = ∠EDC + ∠C，$​
∴​$ ∠EDC = 0°，$​此时点​$D，$​​$B$​重合，不符合题意，舍去
​$② $​若​$AD = ED$​
则​$∠DAE = ∠DEA = \frac 12(180° - ∠ADE) = \frac 12×(180° - 40°)= 70°$​
∵​$ ∠AED = ∠EDC + ∠C，$​∴​$ ∠EDC = 30°$​
∴​$ ∠BAD = ∠EDC = 30°$​
​$③ $​若​$AE = DE，$​则​$∠DAE = ∠ADE = 40°$​
∵​$ ∆ABC$​的内角和为​$180°，$​∴​$ ∠BAC = 180° - 2×40° = 100°$​
∴​$ ∠BAD = 100° - 40° = 60°$​
综上所述，当​$∠BAD$​的度数为​$30°$​或​$60°$​时，​$∆ADE$​是等腰三角形
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