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$\frac{5}{2}$
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证明：∵​$a^2=(\mathrm {m^2}-n^2)^2=m^4-2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4，$​​$b^2=(2mn)^2=4\ \mathrm {m^2}n^2，$​
​$c^2=(\mathrm {m^2}+n^2)^2=m^4+2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4$​
∴​$a^2+b^2=m^4-2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4+4\ \mathrm {m^2}n^2=m^4+2\ \mathrm {m^2}n^2+n^4=c^2$​
∴​$\triangle ABC$​是直角三角形
解：∵​$AD$​为​$\triangle ABC$​的中线，​$BC = 10，$​∴​$BD=CD = 5$​
∵​$AC = 13，$​​$AD = 12$​
∴​$AD^2+CD^2=12^2+5^2=144 + 25=169，$​​$AC^2=13^2=169$​
∴​$AD^2+CD^2=AC^2，$​∴​$∠ADC = 90°$​
∵​$∠ADC+∠ADB = 180°，$​∴​$∠ADB = 90°$​
​$ $​在​$Rt\triangle ADB$​中，​$AD^2+BD^2=AB^2，$​即​$12^2+5^2=AB^2$​
∴​$AB^2=144 + 25=169，$​∴​$AB = 13$​
∴​$\triangle ABD$​的周长为​$5 + 12+13=30$​
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