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C
4
$\sqrt{17}$
$\frac{16}{3}$
解：如图，延长​$AD$​至点​$E，$​使得​$ED = AD，$​连接​$CE$​
∵​$AD$​是边​$BC$​上的中线，∴​$BD = CD$​
​$ $​在​$\triangle ABD$​和​$\triangle ECD$​中
​$ \begin {cases}AD = ED\\∠ADB=∠EDC\\BD = CD\end {cases}$​
∴​$\triangle ABD≌\triangle ECD(S AS)$​
∴​$AB = EC = 8，$​​$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ECD}$​
∵​$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}，$​​$S_{\triangle AEC}=S_{\triangle ECD}+S_{\triangle ADC}$​
∴​$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEC}$​
∵​$AD=\frac {15}2，$​∴​$AE = AD + DE = 15$​
又∵​$AC = 17，$​∴​$AE^2+EC^2=15^2+8^2 = 289，$​​$AC^2=17^2=289$​
∴​$AE^2+EC^2=AC^2，$​∴​$∠E = 90°$​
∴​$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AEC}=\frac 12\ \mathrm {A}E·EC=\frac 12×15×8 = 60$​

解：设​$DC$​与​$BE$​相交于点​$G$​
∵四边形​$ABCD$​是长方形
∴​$∠D=∠A=∠C = 90°，$​​$AD = BC = 6，$​​$CD = AB = 8$​
根据折叠的特征，得​$\triangle EBP≌\triangle ABP$​
∴​$EP = AP，$​​$∠E=∠A = 90°，$​​$BE = BA = 8，$​∴​$∠D=∠E$​
​$ $​在​$\triangle ODP $​和​$\triangle OEG {中}$​
​$ \begin {cases}∠D=∠E\\OD = OE\\∠DOP=∠EOG\end {cases}$​
∴​$\triangle ODP≌\triangle OEG(AS A)$​
∴​$OP = OG，$​​$P D = GE，$​∴​$OP + OE = OG + OD，$​即​$EP = DG$​
​$ $​设​$AP = x，$​则​$P D = GE = 6 - x，$​​$EP = DG = x$​
∴​$CG = 8 - x，$​​$BG = 8-(6 - x)=2 + x$​
​$ $​在​$Rt\triangle BCG {中}，$​由勾股定理，得​$BC^2+CG^2=BG^2$​
即​$6^2+(8 - x)^2=(2 + x)^2，$​解得​$x = 4.8$​
∴​$AP $​的长为​$4.8$​
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