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A
$90^{\circ}$
25
解：当​$n = 1$​时，​$\begin {cases}a=\frac 12(\mathrm {m^2}-1)\\b = m\\c =\frac 12(\mathrm {m^2}+1)\end {cases}$​
∵直角三角形有一边的长为​$5$​
∴​$①$​当​$a=\frac 12(\mathrm {m^2}-1)=5$​时，​$\mathrm {m^2}=11($​不合题意，舍去)
​$ ②$​当​$b = m = 5$​时，​$a=\frac 12×(5^2-1)=12，$​​$c=\frac 12×(5^2+1)=13$​
​$ ③$​当​$c=\frac 12(\mathrm {m^2}+1)=5$​时，​$\mathrm {m^2}=9$​
由​$m>0，$​得​$m = 3，$​则​$a=\frac 12×(3^2-1)=4，$​​$b = 3$​
综上所述，直角三角形的另外两条边的长分别为​$12，$​​$13$​或​$3，$​​$4$​
C
北偏东$50^{\circ}$
125
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