解：$(1)$∵直线$l_{1}∶y=k_{1}x+b(k_{1}≠0)$经过点$A(4，$$0)，$$ B(0，$$2)$
∴$\begin {cases}{b=2}\\{0=4k_{1}+b}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k_{1}=-\frac 12}\\{b=2}\end {cases}$
∴直线$l_{1}$对应的函数表达式为$y=−\frac 12x+2$
∵直线$l_{1}$经过点$P(a，$$1)，$∴$1=−\frac 12a+2，$解得$a=2，$∴$P(2，$$1)$
∵直线$l_{2}∶y=k_{2}x(k_{2}≠0)$也经过点$P(2，$$1)$
∴$1=2k_{2}，$解得$k_{2}=\frac 12$
∴直线$l_{2}$对应的函数表达式为$y=\frac 12x$
$(3)$设点$C$的坐标为$(t，$$\frac 12\ \mathrm {t})$
∵$A(4，$$0)，$$B(0，$$2)，$∴$OA = 4，$$OB = 2$
$①$当$t＞2，$即点$C$在$AB$上方时
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OBC}+S_{\triangle OAC}-S_{\triangle OAB}=3$
$\frac 12×2\ \mathrm {t}+\frac 12×4×\frac 12\ \mathrm {t}-\frac 12×4×2 = 3，$解得$t = \frac 72$
此时点$C$的坐标为$(\frac 72，$$\frac 74)$
$②$当$t＜2，$即点$C$在$AB$下方时，
∵$S_{\triangle OAB}=\frac 12×4×2 = 4＞3$
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OBC}-S_{\triangle OAC}=3$
$4-\frac 12×2\ \mathrm {t}-\frac 12×4×\frac 12\ \mathrm {t} = 3，$解得$t = \frac 12$
此时点$C$的坐标为$(\frac 12，$$\frac 14)$
综上所述，点$C$的坐标为$(\frac 72，$$\frac 74)$或$(\frac 12，$$\frac 14)$
