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​$ (1)$​证明：∵​$CF\perp AB，$​​$M$​为​$BC$​的中点，∴​$MF = BM = CM=\frac 12BC$​
 又∵​$ME = MF，$​∴​$ME = BM = CM$​
∴​$∠MBE=∠MEB，$​​$∠MEC=∠MCE$​
∵​$\triangle BCE$​的内角和为​$180°，$​∴​$∠MEB+∠MEC=\frac 12×180°=90°$​
∴​$∠BEC = 90°，$​即​$BE\perp AC$​
​$ (2)$​解：∵​$∠A = 50°，$​∴​$∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°$​
​$ $​由​$(1)$​得​$MF = BM，$​​$ME = CM，$​∴​$∠MBF=∠MF B，$​​$∠MEC=∠MCE$​
∴​$∠BMF+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)$​
​$=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2×130°=100°$​
∴​$∠FME = 180°-(∠BMF+∠CME)=80°$​
​$(1)$​证明：∵​$∠BGE=∠ADE，$​​$∠BGE=∠CGF，$​∴​$∠ADE=∠CGF$​
∵​$AC\perp BD，$​​$BF\perp CD$​
∴​$∠AED=∠CED = 90°，$​​$∠BF C=∠BF D = 90°$​
∴​$∠CGF+∠G CF = 90°，$​​$∠CDE+∠G CF = 90°$​
∴​$∠CGF=∠CDE，$​∴​$∠ADE=∠CDE$​
​$ $​在​$\triangle ADE$​和​$\triangle CDE$​中
​$\begin {cases}∠ADE=∠CDE\\DE = DE\\∠AED=∠CED\end {cases}$​
∴​$\triangle ADE≌\triangle CDE(AS A)，$​∴​$AD = CD$​
​$ (2)$​解：​$\triangle ACD，$​​$\triangle ABE，$​​$\triangle BCE，$​​$\triangle BHG$​
​$ (1)$​证明：∵​$∠BAC = 2α，$​​$∠DAE=α$​
∴​$∠DAB+∠EAC=α$​
∵​$∠B = 180°-α，$​​$\triangle ABD$​的内角和为​$180°$​
∴​$∠DAB+∠D=α，$​∴​$∠EAC=∠D$​
在​$\triangle DBA$​和​$\triangle ACE$​中
​$\begin {cases}∠B=∠C\\∠D=∠EAC\\DA = AE\end {cases}$​
∴​$\triangle DBA≌\triangle ACE(\mathrm {AAS})$​
​$ (2)$​解：​$ $​设​$∠D = x$​
据​$(1)$​得​$∠EAC=∠D = x$​
∵​$∠DAE = 70°，$​∴​$∠DAC=∠DAE+∠EAC = 70°+x$​
∵在​$\triangle EAC$​中，​$∠C = 110°$​
∴​$∠E=180°-110°-x = 70°-x$​
​$ $​若​$∠DAC$​的度数是​$∠E$​的​$3$​倍
则​$70°+x = 3(70°-x)，$​解得​$x = 35°，$​即​$∠D = 35°$​
∴当​$∠D = 35°$​时，​$∠DAC$​的度数是​$∠E$​的​$3$​倍
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