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解：如图，连接​$EE'$​
∵​$\triangle ABE\cong \triangle CBE'$​
∴​$BE = BE' = 2，$​​$AE = CE' = 1，$​​$∠ABE = ∠CBE'$​
∵四边形​$ABCD$​是正方形，∴​$∠ABC = 90°，$​即​$∠ABE+∠EBC = 90°$​
∴​$∠CBE'+∠EBC = 90°，$​即​$∠EBE' = 90°$​
∴​$\triangle BEE'$​为等腰直角三角形
∴​$E'E^2=BE^2+BE'^2=8，$​​$∠BE'E = 45°$​
∵​$CE^2=3^2=9，$​​$CE'^2=1^2=1$​
∴​$E'E^2+CE'^2=CE^2，$​∴​$∠EE'C = 90°$​
∴​$∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C = 135°$​

解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等
∴​$BC = CA.$​设​$BC = CA = x\mathrm {cm}，$​则​$OC=(36 - x)\mathrm {cm}$​
∵​$∠O = 90°，$​∴在​$Rt\triangle BOC$​中，由勾股定理，
得​$OB^2+OC^2=BC^2，$​即​$12^2+(36 - x)^2=x^2$​
解得​$x=20$​
∴​$BC = 20\ \mathrm {cm}$​
∴如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
那么机器人行走的路程​$BC$​是​$20\ \mathrm {cm}$​
解：​$(1)$​∵​$∠BAC = 90°$​
∴​$AB^2+AC^2=BC^2，$​即​$8^2+6^2=BC^2$​
∴​$BC = 10$​
∵在​$Rt\triangle ABC$​中，​$AO$​是边​$BC$​上的中线
∴​$BO = CO = AO=\frac 12BC = 5$​
∴​$AB\triangle AC=AO^2-BO^2=5^2-5^2=0$​
​$(2)$​如图，取​$AC$​的中点​$D，$​连接​$OD$​
则​$CD=\frac 12\ \mathrm {A}C = 3$​
由​$(1)，$​知​$AO = CO = 5$​
∴​$OD\perp AC($​三线合一​$)$​
∴在​$Rt\triangle ODC$​中，​$OD^2=OC^2-CD^2=5^2-3^2=16$​
∴​$OD = 4$​
∴​$OC\triangle OA=OD^2-CD^2=4^2-3^2=7$​
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