第20页

信息发布者：
3或$\frac{27}{5}$或$\frac{13}{2}$或6
解：​$(1)$​在​$∆ABC$​中，​$∠ACB=90°，$​​$AB=5\ \mathrm {cm}，$​​$BC=3\ \mathrm {cm}$​
∴根据勾股定理，得​$AC=4\ \mathrm {cm}$​
​$①$​若点​$P $​在​$CA$​上，则​$CP=t\mathrm {cm}=3\ \mathrm {cm}，$​∴​$t=3$​
②如图，若点​$P $​在​$AB$​上​$($​不与点​$B$​重合​$)$​
则​$CP=CB=3\ \mathrm {cm}，$​​$AP=(t−4)\mathrm {cm}$​
过点​$C$​作​$CH⊥AB$​于点​$H，$​则​$P B=2BH$​
由​$S_{△ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}C· BC=\frac 12\ \mathrm {A}B· CH，$​得​$CH=\frac {12}5\ \mathrm {cm}$​
在​$Rt∆BCH$​中，∵​$ BH^2+CH^2=BC^2，$​∴​$ BH=\frac 95\ \mathrm {cm}$​
∴​$ P B=2BH=\frac {18}5\ \mathrm {cm}$​
由​$AP+P B=AB，$​得​$t−4+\frac {18}5=5，$​∴​$t=\frac {27}5$​
​$③$​当点​$P $​与点​$B$​重合时，​$CP=3\ \mathrm {cm}，$​此时​$t=9$​
综上所述，当​$t $​的值为​$3$​或​$\frac {27}5$​或​$9$​时，​$CP=3\ \mathrm {cm}$​


​$BM^2+NC^2-BM·NC = MN^2$​
解：​$(1)BM^2+NC^2+BM· NC=MN^2$​
∵​$AB=AC，$​​$∠BAC=60°，$​∴​$∆ABC$​是等边三角形，∴​$∠ABC=∠C=60°$​
如图，以​$B$​为顶点在​$∆ABC$​外作​$∠ABK=60°，$​在​$BK$​上截取​$BQ=CN，$​连接​$Q A，$​​$QM，$​
过点​$Q {作}QH⊥BC，$​交​$CB$​的延长线于点​$H$​
在​$∆ACN$​和​$∆ABQ {中}$​
​$\begin {cases}{AC=AB}\\{∠C=∠ABQ=60°}\\{CN=BQ}\end {cases}$​
∴​$∆ACN≌∆ABQ，$​∴​$AN=AQ，$​​$∠CAN=∠BAQ$​
又∵​$∠CAN+∠BAM=∠BAC−∠MAN=\frac 12∠BAC=30°$​
∴​$∠BAM+∠BAQ=30°，$​即​$∠Q AM = ∠NAM$​
在​$ ∆AQM $​和​$ ∆ANM $​中
​$\begin {cases}{AQ=AN}\\{∠Q AM=∠NAM}\\{AM=AM}\end {cases}$​
∴​$∆AQM≌∆ANM，$​∴​$MN=MQ$​
∵​$∠ABQ=60°，$​​$∠ABC=60°，$​∴​$∠Q BH=60°，$​∴​$∠BQH=30°，$​∴​$BH=\frac 12BQ$​
∴​$QH^2=BQ^2−(\frac 12BQ)^2=\frac 34BQ^2，$​​$HM=BM+BH=BM+\frac 12BQ$​
在​$Rt∆QHM$​中，由勾股定理，得​$QH^2+HM^2=MQ^2，$​即​$\frac 34BQ^2+(BM+\frac 12BQ)^2 =MQ^2$​
整理，得​$BM^2+BQ^2+BM· BQ=MQ^2$​
∴​$BM^2+NC^2+BM· NC=MN^2$​
上一页 下一页