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解：​$(1)$​∵​$A(a - 4，$​​$4)，$​​$B(a + 1，$​​$4)，$​​$OA = OB$​
∴点​$A，$​​$B$​在​$y$​轴的异侧，且​$AB// x$​轴
∴​$a + 1=4 - a，$​解得​$a=\frac 32$​
∴​$A(-\frac 52，$​​$4)$​
​$(2)$​∵点​$A$​到​$x$​轴、​$y$​轴的距离相等，∴​$|a - 4| = 4$​
当​$a - 4 = 4$​时，​$a = 8，$​此时​$A(4，$​​$4)；$​
当​$a - 4 = - 4$​时，​$a = 0，$​此时​$A(-4，$​​$4)。$​
​$①$​当​$a = 0$​时，​$A(-4，$​​$4)，$​过点​$A$​作​$AE\perp y$​轴于点​$E，$​​$AF\perp x$​轴于点​$F$​
则​$AE = OF = 4，$​​$AF = OE = 4，$​​$∠AED=∠AF C = 90°，$​∴​$∠EAF = 90°$​
由​$C(-3，$​​$0)，$​可得​$F C = OF - OC = 4 - 3 = 1$​
∵​$AD\perp AC，$​∴​$∠DAC = 90°=∠EAF$​
则​$∠DAC-∠CAE=∠EAF-∠CAE，$​即​$∠DAE=∠CAF$​
又∵​$AE = AF = 4，$​∴​$\triangle AED≌\triangle AF C(AS A)$​
∴​$ED = F C = 1，$​​$OD = OE + ED = 5，$​∴​$D(0，$​​$5)$​

​$②$​当​$a = 8$​时，​$A(4，$​​$4)$​
过点​$A$​作​$AE\perp y$​轴于点​$E，$​​$AF\perp x$​轴于点​$F$​
由​$C(-3，$​​$0)，$​可得​$F C = OF + OC = 4 + 3 = 7$​
同理，可得​$\triangle AED≌\triangle AF C$​
∴​$DE = CF = 7，$​​$OD = OE + DE = 11，$​∴​$D(0，$​​$11)$​
综上所述，点​$D$​的坐标为​$(0，$​​$5)$​或​$(0，$​​$11)$​
解：​$(1) $​设​$x\ \mathrm {s}{后}PQ $​平行于​$y$​轴，则​$P A=(9 - 2x)\mathrm {cm}，$​​$OQ = x\mathrm {cm}$​
根据题意，得​$9 - 2x = x，$​解得​$x = 3$​
∴​$3\ \mathrm {s}{后}PQ $​平行于​$y$​轴
​$(2) $​设点​$P $​移动的时间为​$t s$​
​$①$​当点​$P $​在​$y$​轴的右侧时，点​$P $​的坐标为​$(9 - 2\ \mathrm {t}，$​​$4)$​
则​$P A=(9 - 2\ \mathrm {t})\mathrm {cm}，$​​$OQ = t\mathrm {cm}$​
根据题意，得​$\frac 12×4[(9 - 2t)+t]=10，$​解得​$t = 4$​
∴​$9 - 2t = 1，$​此时点​$P $​的坐标为​$(1，$​​$4)$​
​$②$​当点​$P $​在​$y$​轴的左侧时，点​$P $​的坐标为​$(9 - 2t，$​​$4)$​
则​$P A=(2t - 9)\mathrm {cm}，$​​$OQ = t\mathrm {cm}$​
根据题意，得​$\frac 12×4[(2t - 9)+t]=10，$​解得​$t=\frac {14}3$​
∴​$9 - 2t=9 - 2×\frac {14}3=-\frac 13，$​此时点​$P $​的坐标为​$(-\frac 13，$​​$4)$​
综上所述，点​$P $​的坐标为​$(1，$​​$4)$​或​$(-\frac 13，$​​$4)$​
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