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$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{2}$
解：​$(1)$​在​$y=2x+3$​中，令​$y=0，$​得​$x=-\frac 32，$​则​$A(-\frac 32，$​​$0)$​
令​$x=0，$​得​$y=3，$​则​$B(0，$​​$3)$​
解：​$(1)$​根据题意，得​$y_{1} = 10 + x，$​​$y_{2} = 20 + ax$​
∵当​$x = 20$​时，两个气球会相遇
∴​$1$​号、​$2$​号探测气球对应的函数图象都经过点​$(20，$​​$b)$​
把点​$(20，$​​$b)$​代入​$y_{1} = 10 + x，$​得​$b = 10 + 20 = 30$​
∴直线​$y_{2} = 20 + ax$​过点​$(20，$​​$30)$​
则​$30 = 20 + 20a，$​解得​$a = 0.5$​
∴​$y_{2}$​关于​$x$​的函数表达式为​$y_{2} = 20 + 0.5x$​
​$(2)$​分两种情况讨论：
​$①$​若​$2$​号探测气球比​$1$​号探测气球海拔高​$5\ \mathrm {m}$​
则​$(20 + 0.5x)-(x + 10)=5，$​解得​$x = 10$​
​$②$​若​$1$​号探测气球比​$2$​号探测气球海拔高​$5\ \mathrm {m}$​
则​$(x + 10)-(0.5x + 20)=5，$​解得​$x = 30$​
综上所述，当上升​$10 \mathrm {min}$​或​$30 \mathrm {min}$​时，两个气球的海拔差为​$5\ \mathrm {m}$​
解：​$(1)$​设每个​$A$​型钥匙扣的进价为​$x$​元，每个​$B$​型钥匙扣的进价为​$y$​元
根据题意，得​$\begin {cases}50x + 30y = 870\\30x + 50y = 810\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x = 12}\\{y=9}\end {cases}$​
答：每个​$A$​型钥匙扣的进价为​$12$​元，每个​$B$​型钥匙扣的进价为​$9$​元。
​$(2)$​设购进​$A$​型钥匙扣​$a$​个，​$B$​型钥匙扣​$(100 - a)$​个，利润为​$W {元}$​
根据题意，得​$W=(20 - 12)a+(15 - 9)(100 - a)=2a + 600$​
∵​$12a + 9(100 - a)\leq 1000，$​解得​$a\leq 33\frac 13，$​且​$a$​为非负整数
∵​$2＞0，$​∴​$W {随着}a$​的增大而增大
∴当​$a = 33$​时，​$W $​取得最大值
此时​$100 - a = 67，$​​$W_{最大值}=2×33 + 600= 666$​
答：该经销商应购进​$A$​型钥匙扣​$33$​个，​$B$​型钥匙扣​$67$​个，可获得最大利润，最大利润为​$666$​元。
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