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证明：∵​$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$​
∴​$∠B = ∠B'，$​​$AB = A'B'，$​​$∠BAC=∠B'A'C'$​
∵​$AD，$​​$A'D'$​分别是​$\triangle ABC$​与​$\triangle A'B'C'$​的角平分线
∴​$∠BAD = \frac 12∠BAC，$​​$∠B'A'D' = \frac 12∠B'A'C'$​
∴​$∠BAD=∠B'A'D'$​
在​$\triangle ABD$​和​$\triangle A'B'D'$​中
​$\begin {cases}∠B=∠B' \\AB = A'B' \\∠BAD=∠B'A'D'\end {cases}$​
∴​$\triangle ABD≌\triangle A'B'D'(AS A)$​
∴​$AD = A'D'$​
证明：在​$\triangle ABF $​和​$\triangle ACE$​中
​$\begin {cases}AB = AC \\∠A=∠A \\AF = AE\end {cases}$​
∴​$\triangle ABF≌ \triangle ACE(S AS)，$​∴​$∠ABF = ∠ACE$​
∵​$AB = AC，$​​$AE = AF，$​∴​$AB - AE=AC - AF，$​即​$BE = CF$​
在​$\triangle BEP $​和​$\triangle CFP{中}$​
​$\begin {cases}∠BPE=∠CPF \\∠P BE=∠P CF \\BE = CF\end {cases}$​
∴​$\triangle BEP≌ \triangle CFP(\mathrm {AAS})$​
∴​$P B = P C$​
图中其他相等的线段为​$PE$​和​$PF，$​​$BE$​和​$CF，$​​$BF $​和​$CE$​
证明：​$(1)$​如图，连接​$BC$​
在​$\triangle ABC$​和​$\triangle DCB$​中
​$\begin {cases}AB = DC \\BC = CB \\AC = DB\end {cases}$​
∴​$\triangle ABC≌\triangle DCB(\mathrm {SSS})，$​∴​$∠A = ∠D$​
​$(2)$​在​$\triangle ABO$​和​$\triangle DCO$​中
​$\begin {cases}∠AOB=∠DOC \\∠A=∠D \\AB = DC\end {cases}$​
∴​$\triangle ABO≌\triangle DCO(\mathrm {AAS})$​
∴​$AO = DO$​
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