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$AC\cdot BC$
$DB$
D
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解：∵在​$Rt\triangle ABC$​中，​$∠A = 90°，$​∴​$AB^2+AC^2=BC^2$​
∵​$AB = 8，$​​$AC = 15，$​∴易得​$BC = 17$​
如图，过点​$D$​作​$DH\perp BC$​于点​$H，$​则​$∠BHD=∠A = 90°$​
根据尺规作图痕迹，得​$BD$​平分​$∠ABC，$​∴​$∠ABD=∠HBD$​
又∵​$BD = BD，$​∴​$\triangle ABD\cong \triangle HBD(\mathrm {AAS})$​
∴​$AB = HB = 8，$​​$AD = HD，$​∴​$CH = BC - HB = 9$​
∵在​$Rt\triangle DHC$​中，​$CH^2+DH^2=CD^2$​
∴​$9^2+AD^2=(15 - AD)^2，$​解得​$AD=\frac {24}5$​

​$(1)$​证明：∵​$AB = AC，$​​$P $​是​$BC$​边上的中点，∴​$BP = P C，$​​$AP\perp BC$​
∴在​$Rt\triangle AP {B}$​中，​$AB^2=AP^2+BP^2$​
∴​$AB^2-AP^2=BP^2=BP·CP，$​即​$BP·CP=AB^2-AP^2$​
​$(2)$​解：成立，证明：如图，过点​$A$​作​$AM\perp BC$​于点​$M$​
∵​$AB = AC，$​​$AM\perp BC，$​∴​$BM = CM$​
∴​$BM + MP = CM + PM = CP$​
∵在​$Rt\triangle AMB$​中，​$AB^2=AM^2+BM^2；$​
在​$Rt\triangle AMP {中}，$​​$AP^2=AM^2+MP^2$​
∴​$AB^2-AP^2=BM^2-MP^2=(BM - MP)(BM + MP)=BP·CP$​
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