解：$(1)$∵$∠ACB = 90°，$$BC = 6\ \mathrm {cm}，$$AC = 8\ \mathrm {cm}$
∴$S_{\triangle ABC}=\frac 12BC·AC = 24\ \mathrm {cm}^2$
∵$CD$为边$AB$上的高
∴$S_{\triangle ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}B·CD$
∵$AB = 10\ \mathrm {cm}$
∴$CD=\frac {2S_{\triangle ABC}}{AB}=4.8\ \mathrm {cm}$
则$∆ABC$的面积为$24\ \mathrm {cm}^2，$$CD$的长为$4.8\ \mathrm {cm}$
$(2)$由$(1)，$得$CD = 4.8\ \mathrm {cm}$
若$∆P AC$的面积为$6\ \mathrm {cm}^2，$则分类讨论如下：
$①$当点$P $在线段$AB$上运动时，连接$P C$
∵$AP = t\mathrm {cm}$
∴$S_{\triangle P AC}=\frac 12\ \mathrm {AP·}CD = 2.4t\mathrm {cm}^2$
∴$2.4t = 6，$解得$t = 2.5$
$②$当点$P $在线段$BC$上运动时，连接$AP$
∵$AC = 8\ \mathrm {cm}，$$AB = 10\ \mathrm {cm}，$$BC = 6\ \mathrm {cm}$
∴$CP = (16 - t)\mathrm {cm}$
∴$S_{\triangle P AC}=\frac 12CP·AC=(64 - 4t)\mathrm {cm}^2$
∴$64 - 4t = 6，$解得$t = 14.5$
综上，当$t $的值为$2.5$或$14.5$时，$∆P AC$的面积为$6\ \mathrm {cm}^2$
