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第6页

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30°

110°

解：$(1)$∵$\triangle BAD≌\triangle ACE$

∴$BD = AE，$$AD = CE$

∵$AE = AD + DE = CE + DE$

∴$BD = DE + CE$

$ (2)$当$∠BAC = 90°$时，$BD//CE，$理由如下：

∵$\triangle BAD≌\triangle ACE$

∴$∠ABD=∠CAE，$$∠ADB=∠CEA$

当$BD//CE$时，$∠BDE=∠CEA$

又$∠BDE+∠ADB = 180°$

∴$∠ADB = 90°，$即$∠ABD+∠BAD = 90°$

∴$∠CAE+∠BAD = 90°，$即$∠BAC = 90°$

∴当$∠BAC = 90°$时，$BD//CE$

$\alpha = 2\beta$

解：$(1)$由题意，得$BP = 3\ \mathrm {t}\mathrm {cm}$

∵$BC = 8\ \mathrm {cm}，$$CP = BC - BP$

∴$CP=(8 - 3\ \mathrm {t})\mathrm {cm}$

$ (2)$∵$AB = 10\ \mathrm {cm}，$$D$为$AB$的中点

∴$BD=\frac 12\ \mathrm {A}B = 5\ \mathrm {cm}$

又点$Q $以$a\mathrm {cm}/s $的速度运动

∴$CQ = at\mathrm {cm}$

由$(1)，$得$BP = 3\ \mathrm {t}\mathrm {cm}，$$CP=(8 - 3\ \mathrm {t})\mathrm {cm}$

又$∠B$和$∠C$是一组对应角

∴$\triangle BDP≌\triangle CPQ $或$\triangle BDP≌\triangle CQP$

当$\triangle BDP≌\triangle CPQ $时，$BD = CP，$$BP = CQ$

∴$5 = 8 - 3\ \mathrm {t}，$解得$t = 1，$$a = 3；$

当$\triangle BDP≌\triangle CQP $时，$BD = CQ，$$BP = CP$

∴$5 = at，$解得$t=\frac 43，$$a=\frac {15}4$

综上，$a$的值为$3$或$\frac {15}4$