第8页

信息发布者：
$\angle A + 2\alpha=180^{\circ}$
$20^{\circ}$
$42$
​$(1)$​证明：∵​$AD\perp BC$​
∴​$∠ADC=∠BDE = 90°$​
在​$\triangle BDE$​和​$\triangle ADC$​中
​$\begin {cases}BD = AD \\∠BDE=∠ADC \\DE = DC\end {cases}$​
∴​$\triangle BDE≌\triangle ADC(S AS)$​
∴​$BE = AC$​
​$(2)$​解：​$AC = MC，$​​$AC\perp MC，$​证明如下：
由​$(1)$​得​$BE = AC，$​​$∠ADC = 90°$​
​$\triangle BDE≌\triangle ADC$​
∴​$∠DBE=∠DAC，$​​$∠DAC+∠ACD = 90°，$​
即​$∠DBE+∠ACD = 90°$​
又​$F $​是​$BC$​的中点，∴​$BF = CF$​
在​$\triangle BFE$​和​$\triangle CFM$​中
​$\begin {cases}BF = CF \\∠BFE=∠CFM \\EF = MF\end {cases}$​
∴​$\triangle BFE≌\triangle CFM(S AS)$​
∴​$BE = CM，$​​$∠EBF=∠MCF$​
即​$AC = MC，$​​$∠MCF+∠ACD = 90°$​
∴​$∠ACM = 90°，$​即​$AC\perp MC$​
$40^{\circ}$
$25^{\circ}$
解：​$(2)①$​当点​$D$​在线段​$BC$​的延长线上移动时，
​$α$​与​$β$​之间的数量关系是​$α=β，$​理由如下：
∵​$∠DAE=∠BAC$​
∴​$∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD$​
即​$∠BAD=∠CAE$​
在​$\triangle BAD$​和​$\triangle CAE$​中
​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}$​
∴​$\triangle BAD≌\triangle CAE(S AS)$​
∴​$∠ABC=∠ACE$​
∵​$∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACE+∠DCE$​
∴​$∠BAC=∠DCE$​
∵​$∠BAC=α，$​​$∠DCE=β$​
∴​$α=β$​
​$②$​当点​$D$​在线段​$BC$​上时，​$α+β= 180°；$​
当点​$D$​在线段​$BC$​的延长线或反向延长线上时，​$α=β$​
理由如下：
当点​$D$​在线段​$BC$​上时，如图①
∵​$∠DAE=∠BAC$​
∴​$∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD$​
即​$∠BAD=∠CAE$​
在​$\triangle BAD$​和​$\triangle CAE$​中
​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}$​
∴​$\triangle BAD≌\triangle CAE(S AS)$​
∴​$∠ABC=∠ACE$​
∵​$∠ACF=∠ABC+∠BAC=∠ACE+∠ECF$​
∴​$∠BAC=∠ECF$​
∵​$∠DCE+∠ECF = 180°$​
∴​$∠DCE+∠BAC = 180°$​
又​$∠BAC=α，$​​$∠DCE=β$​
∴​$α+β= 180°$​
当点​$D$​在线段​$BC$​的延长线上时，由​$(2)①，$​得​$α=β$​

当点​$D$​在线段​$BC$​的反向延长线上时，如图②
∵​$∠DAE=∠BAC$​
∴​$∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE$​
即​$∠BAD=∠CAE$​
在​$\triangle BAD$​和​$\triangle CAE$​中
​$\begin {cases}AB = AC \\∠BAD=∠CAE \\AD = AE\end {cases}，$​
∴​$\triangle BAD≌\triangle CAE(S AS)$​
∴​$∠ABD=∠ACE$​
∵​$∠ABD=∠BAC+∠ACB，$​
​$∠ACE=∠ACB+∠DCE$​
∴​$∠BAC=∠DCE$​
∵​$∠BAC=α，$​​$∠DCE=β$​
∴​$α=β$​
上一页 下一页