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$50^{\circ}$
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​$(1)$​证明：∵​$DE\perp AC$​于点​$E，$​​$BF\perp AC$​于点​$F$​
∴​$∠DEC = ∠BF A = 90°$​
在​$Rt\triangle DEC$​和​$Rt\triangle BF A$​中
​$\begin {cases}CD = AB\\CE = AF\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle DEC≌ Rt\triangle BF A(\mathrm {HL})$​
∴​$DE = BF$​
在​$\triangle DEM$​和​$\triangle BFM$​中
​$\begin {cases}∠DME = ∠BMF\\∠DEM = ∠BFM \\DE = BF\end {cases}$​
∴​$\triangle DEM≌\triangle BFM(\mathrm {AAS})$​
∴​$MD = MB，$​​$ME = MF$​
​$(2)$​解：成立，证明如下：
∵​$DE\perp AC$​于点​$E，$​​$BF\perp AC$​于点​$F$​
∴​$∠DEC = ∠DEM = ∠BF A = ∠BFM = 90°$​
在​$Rt\triangle DEC$​和​$Rt\triangle BF A$​中
​$\begin {cases}CD = AB\\CE = AF\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle DEC≌Rt\triangle BF A(\mathrm {HL})$​
∴​$DE = BF$​
在​$\triangle DEM$​和​$\triangle BFM$​中
​$\begin {cases}∠DME = ∠BMF\\∠DEM = ∠BFM\\DE = BF\end {cases}$​
∴​$\triangle DEM≌ \triangle BFM(\mathrm {AAS})$​
∴​$MD = MB，$​​$ME = MF$​
C
证明：​$(1)①$​连接​$OC$​
∵​$CA\perp OM，$​​$CB\perp ON$​
∴​$∠OAC = ∠OBC = 90°$​
在​$Rt\triangle OAC$​和​$Rt\triangle OBC$​中
​$\begin {cases}OA = OB\\OC = OC\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle OAC≌Rt\triangle OBC(\mathrm {HL})$​
∴​$CA = CB$​
②如图①，过点​$O$​分别作​$OD\perp CB，$​
交​$CB$​的延长线于点​$D，$​​$OE\perp AC$​于点​$E$​
则​$∠OEA = ∠OEC = ∠ODC = ∠ODB = 90°$​
∵​$∠ACB = ∠MON = 90°，$​
​$∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON = 360°$​
∴​$∠OAE+∠OBC = 180°$​
∵​$∠OBD+∠OBC = 180°，$​∴​$∠OAE = ∠OBD$​
在​$\triangle OAE$​和​$\triangle OBD$​中
​$\begin {cases}∠OEA = ∠ODB\\∠OAE = ∠OBD\\OA = OB\end {cases}$​
∴​$\triangle OAE≌\triangle OBD(\mathrm {AAS})$​
∴​$OE = OD$​
在​$Rt\triangle OCE$​和​$Rt\triangle OCD$​中
​$\begin {cases}OE = OD\\OC = OC\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle OCE≌Rt\triangle OCD(\mathrm {HL})$​
∴​$∠OCE = ∠OCD，$​即​$CO$​平分​$∠ACB$​

解：​$(2)$​如图​$②，$​过点​$C$​分别作​$CD\perp OM$​于点​$D，$​
​$CE\perp ON$​于点​$E，$​作射线​$OC$​
则​$∠ADC = ∠ODC = ∠OEC = ∠BEC = 90°$​
∵​$∠ACB = ∠MON = 90°，$​
​$∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON = 360°$​
∴​$∠CAD+∠OBC = 180°$​
∵​$∠CBE+∠OBC = 180°，$​∴​$∠CAD = ∠CBE$​
在​$\triangle CAD$​和​$\triangle CBE$​中
​$\begin {cases}∠ADC = ∠BEC\\∠CAD = ∠CBE AC = BC\end {cases}$​
∴​$\triangle CAD≌ \triangle CBE(\mathrm {AAS})$​
∴​$CD = CE$​
在​$Rt\triangle OCD$​和​$Rt\triangle OCE$​中
​$\begin {cases}CD = CE\\OC = OC\end {cases}$​
∴​$Rt\triangle OCD≌Rt\triangle OCE(\mathrm {HL})$​
∴​$∠COD = ∠COE，$​即​$OC$​平分​$∠MON$​
∴点​$C$​在​$∠MON$​的平分线上运动
∴当点​$C$​运动到​$P C\perp OC$​时，​$P C$​的长最短
过点​$P $​作​$OC$​的垂线，垂足为​$C，$​
则此时点​$C'$​即为所求作的点
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