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解：​$(1)$​过点​$C$​作​$CF\perp AB$​于点​$F$​
则​$∠AF C=∠CF B = 90°$​
∵​$AC$​平分​$∠P AB，$​∴​$∠CAD=∠CAF$​
又​$l\perp P A，$​∴​$∠ADC = 90°，$​即​$∠ADC=∠AF C$​
在​$\triangle ACD$​和​$\triangle ACF $​中
​$\begin {cases}∠CAD=∠CAF\\∠ADC=∠AF C\\AC = AC\end {cases}$​
∴​$\triangle ACD≌\triangle ACF(\mathrm {AAS})，$​∴​$AD = AF$​
∵​$P A// Q B，$​​$l\perp P A$​
∴​$l\perp BQ，$​即​$∠BEC = 90°$​
同理，得​$BE = BF$​
∵​$AF + BF = AB，$​∴​$AD + BE = AB$​
​$(2)$​成立，证明如下：
在​$AB$​上截取​$AG = AD，$​连接​$CG$​
∵​$AC$​平分​$∠P AB，$​∴​$∠DAC=∠G AC$​
在​$\triangle ADC$​和​$\triangle AG C$​中
​$\begin {cases}AD = AG\\∠DAC=∠G AC\\AC = AC\end {cases}$​
∴​$\triangle ADC≌\triangle AG C(S AS)$​
∴​$∠ADC=∠AG C$​
又​$P A// Q B，$​∴​$∠ADC+∠BEC = 180°$​
又​$∠AG C+∠BG C = 180°$​
∴​$∠BEC=∠BG C$​
又​$BC$​平分​$∠Q BA，$​∴​$∠CBE=∠CBG$​
在​$\triangle BCE$​和​$\triangle BCG $​中
​$\begin {cases}∠BEC=∠BG C\\∠CBE=∠CBG\\BC = BC\end {cases}$​
∴​$\triangle BCE≌\triangle BCG(\mathrm {AAS})，$​∴​$BE = BG$​
又​$AG + BG = AB，$​∴​$AD + BE = AB$​
​$(3)$​不成立，当点​$D$​在​$AB$​的上方，点​$E$​在​$AB$​的下方时，
​$AD、$​​$BE$​和​$AB$​之间的数量关系是​$AD - BE = AB；$​
当点​$D$​在​$AB$​的下方，点​$E$​在​$AB$​的上方时，
​$AD、$​​$BE$​和​$AB$​之间的数量关系是​$BE - AD = AB$​

证明：∵​$AB = AE$​
∴将​$\triangle ADE$​绕点​$A$​按顺时针方向旋转，
使​$AE$​与​$AB$​重合，得到​$\triangle AF B$​
由旋转的性质得​$∠ABF=∠AED，$​​$∠AF B=∠ADE，$​
​$AF = AD，$​​$BF = ED$​
又​$∠AED+∠ABC = 180°$​
∴​$∠ABF+∠ABC = 180°，$​即​$F，$​​$B，$​​$C$​三点共线
又​$CF = BC + BF，$​∴​$CF = BC + ED$​
又​$BC + DE = CD，$​∴​$CF = CD$​
连接​$AC$​
在​$\triangle ACF $​和​$\triangle ACD$​中
​$\begin {cases}AF = AD\\AC = AC\\CF = CD\end {cases}$​
∴​$\triangle ACF≌\triangle ACD(\mathrm {SSS})$​
∴​$∠AF C=∠ADC$​
∴​$∠ADC=∠ADE，$​即​$DA$​平分​$∠CDE$​
解：​$(1)$​∵四边形​$ABCD$​是正方形
∴​$∠ABC=∠BAD=∠ADC = 90°，$​​$AB = AD = CD$​
又​$∠EAF = 45°，$​​$∠EAF+∠BAE+∠DAF = 90°$​
∴​$∠BAE+∠DAF = 90°-∠EAF = 45°$​
将​$\triangle BAE$​绕点​$A$​按逆时针方向旋转​$90°，$​得到​$\triangle DAG$​
∴​$\triangle DAG≌\triangle BAE$​
即​$∠DAG=∠BAE，$​​$AG = AE，$​​$DG = BE，$​
​$∠ADG=∠ABE = 90°$​
∴​$∠ADC+∠ADG = 180°，$​即​$G，$​​$D，$​​$F $​三点共线
又​$∠G AF=∠DAF+∠DAG$​
∴​$∠G AF=∠DAF+∠BAE = 45°，$​
即​$∠G AF=∠EAF$​
在​$\triangle EAF $​和​$\triangle G AF $​中
​$\begin {cases}AE = AG\\∠EAF=∠G AF\\AF = AF\end {cases}$​
∴​$\triangle EAF≌\triangle G AF(S AS)，$​∴​$EF = GF$​
又​$GF = DF + DG，$​∴​$EF = BE + DF$​
又​$BE = DF = 1，$​∴​$EF = 2$​
证明：​$(2)$​将​$\triangle BAE$​绕点​$A$​按逆时针方向旋转​$90°，$​
得到​$\triangle DAH$​
同​$(1)$​得​$\triangle EAF≌\triangle HAF，$​
​$HF = BE + DF$​
∴​$EF = HF = BE + DF$​
解：​$(3)BE + EF = DF$​
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