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A
$40^{\circ}$或$100^{\circ}$
$10^{\circ}$或$100^{\circ}$
C
$8.5$或$9$
$60^{\circ}$或$105^{\circ}$
​$(1)$​证明：∵​$AB = AC，$​​$AE$​是​$\triangle ABC$​的高
∴​$AE\perp BC，$​即​$∠BAC = 2∠BAE=2∠CAE$​
∵​$OA = OB，$​∴​$∠ABD = ∠BAE$​
∴​$∠BAC = 2∠ABD$​
​$(2)$​解：∵​$AB = AC，$​∴​$∠C = ∠ABC$​
∵​$\triangle BCD$​是等腰三角形，
且​$∠CBD<∠ABC = ∠C$​
∴有​$BD = BC$​和​$BC = CD$​两种情况：
​$①$​当​$BD = BC$​时，​$∠C = ∠BDC$​
由​$(1)，$​得​$∠ABD = ∠BAE = ∠CAE$​
又​$∠BAC=∠BAE + ∠CAE$​
∴​$∠BDC = ∠ABD+∠BAC = 3∠ABD$​
设​$∠ABD=α，$​则​$∠BAC = 2α，$​​$∠C = ∠BDC = 3α$​
又​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C = 3α$​
又​$∠BAC+∠ABC+∠C = 180°$​
∴​$2α+3α+ 3α= 180°$​
∴​$2α= 45°，$​即​$∠BAC = 45°$​
​$②$​当​$BC = CD$​时，​$∠CBD = ∠BDC$​
∴​$∠CBD = ∠BDC = 3∠ABD$​
设​$∠ABD=β，$​则​$∠BAC = 2β，$​​$∠CBD=∠BDC = 3β$​
又​$∠ABC = ∠ABD+∠CBD = 4β$​
∴​$∠C = ∠ABC = 4β$​
∵​$∠ABC+∠C+∠BAC = 180°$​
∴​$4β+4β+ 2β= 180°$​
∴​$2β= 36°，$​即​$∠BAC = 36°$​
综上，​$∠BAC$​的度数为​$45°$​或​$36°$​
$6$或$10$
解：如图①，若​$\triangle ABC$​是锐角三角形
则​$∠ADE = 90°，$​​$∠AED = 50°$​
∴​$∠A+∠AED = 90°，$​即​$∠A = 90°-∠AED = 40°$​
又​$AB = AC，$​∴​$∠B = ∠C$​
又​$∠A+∠B+∠C = 180°$​
∴​$∠C=\frac 12(180°-∠A)=70°$​

如图②，若​$\triangle ABC$​是钝角三角形
则​$∠AED = 90°，$​​$∠ADE = 50°$​
又​$∠BAC=∠AED+∠ADE$​
∴​$∠BAC = 140°$​
又​$AB = AC，$​∴​$∠B = ∠C$​
又​$∠B+∠C+∠BAC = 180°$​
∴​$∠C=\frac 12(180°-∠BAC)=20°$​
综上，​$∠C$​的度数为​$20°$​或​$70°$​
解：设​$AB = AC，$​​$BD\perp AC$​于点​$D，$​分类讨论如下：
​$①$​当高与底边的夹角为​$25°$​时，高一定在​$\triangle ABC$​
的内部，如图①
∵​$∠DBC = 25°，$​​$BD\perp AC，$​∴​$∠ADB = 90°$​
又​$∠ADB=∠DBC+∠C$​
∴​$∠C=∠ADB - ∠DBC = 65°$​
又​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C = 65°$​
又​$∠A+∠ABC+∠C = 180°$​
∴​$∠A = 180°-∠ABC-∠C = 50°$​
​$②$​当高与另一腰的夹角为​$25°，$​且高在​$\triangle ABC$​
的内部时，如图②
∵​$∠ABD = 25°，$​​$BD\perp AC，$​∴​$∠BDC = 90°$​
又​$∠BDC=∠A+∠ABD$​
∴​$∠A=∠BDC - ∠ABD = 65°$​
∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C$​
又​$∠A+∠ABC+∠C = 180°$​
∴​$∠C=∠ABC=\frac 12(180°-∠A)=57.5°$​

​$③$​当高与另一腰的夹角为​$25°，$​且高在​$\triangle ABC$​
的外部时，如图③
∵​$∠ABD = 25°，$​​$BD\perp AC，$​∴​$∠BDC = 90°$​
又​$∠BAC=∠BDC+∠ABD，$​∴​$∠BAC = 115°$​
∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C$​
又​$∠BAC+∠ABC+∠C = 180°$​
∴​$∠ABC=∠C=\frac 12(180°-∠BAC)=32.5°。$​
综上，这个等腰三角形的各个内角的度数分别
为​$65°，$​​$65°，$​​$50°$​或​$65°，$​​$57.5°，$​​$57.5°$​
或​$115°，$​​$32.5°，$​​$32.5°$​
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