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$\angle A = 60^{\circ}$
​$(1)$​证明：∵​$PM\perp OA，$​∴​$∠OMP = 90°$​
在​$Rt\triangle OMP $​中，​$D$​是​$OP $​的中点
∴​$DM = DO=\frac 12OP$​
∴​$∠DMO = ∠DOM$​
又∵​$∠MDP = ∠DMO+∠DOM$​
∴​$∠MDP = 2∠MOP$​
同理，在​$Rt\triangle ONP $​中，可得​$∠NDP = 2∠NOP$​
∴​$∠MDN = ∠MDP+∠NDP $​
​$= 2∠MOP + 2∠NOP=2∠MON$​
​$(2)$​解：​$∠DME = 180°-2∠A，$​理由如下：
∵​$CD，$​​$BE$​分别是边​$AB，$​​$AC$​上的高，
​$M$​是​$BC$​的中点
∴​$DM = BM = CM=\frac 12BC，$​
​$ME = BM = CM=\frac 12BC$​
即​$DM = ME = BM = CM$​
∴​$∠MDB = ∠ABC，$​​$∠MEC = ∠ACB$​
又∵​$∠BMD + ∠MDB + ∠ABC = 180°，$​
​$∠CME+∠MEC+∠ACB = 180°$​
∴​$∠BMD + ∠CME$​
​$=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)$​
​$=360°-2(∠ABC + ∠ACB)$​
∵​$∠ABC+∠ACB = 180°-∠A$​
∴​$∠BMD + ∠CME = 2∠A$​
又∵​$∠BMD + ∠CME+∠DME = 180°$​
∴​$∠DME = 180°-2∠A$​
​$(3)∠DME = 2∠BAC - 180°$​
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