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解：​$(1)$​由题意得​$∠ACB = 90°，$​​$AC = CB，$​
​$CD = BD，$​​$BF// AC$​
∴​$∠BAC = ∠ABC = 45°，$​
​$∠ACB+∠CBF = 180°$​
即​$∠CBF = ∠ACB = 90°$​
∵​$DE\perp AB，$​∴​$∠BED = 90°$​
∴​$∠BDE+∠ABC = 90°$​
∴​$∠BDE = 90°-∠ABC = 45°$​
 同理，得​$∠BF D = ∠BDE = 45°$​
∴​$\triangle BDF $​是等腰直角三角形，即​$BD = BF$​
∴​$CD = BF$​
在​$\triangle ACD$​和​$\triangle CBF $​中
​$\begin {cases}AC = CB\\∠ACD=∠CBF\\CD = BF\end {cases}$​
∴​$\triangle ACD≌\triangle CBF(S AS)$​
∴​$∠CAD = ∠BCF$​
又​$∠BCF+∠ACG = ∠ACB = 90°$​
∴​$∠CAD+∠ACG = 90°$​
又​$∠AGF=∠ACG+∠CAD$​
∴​$∠AGF = 90°，$​即​$AD\perp CF$​
​$(2)\triangle ACF $​是等腰三角形，理由如下：
由​$(1)$​得​$\triangle ACD≌\triangle CBF，$​​$BD = BF$​
∴​$AD = CF$​
又​$DF\perp AB$​
∴​$DE = FE，$​即​$AB$​垂直平分​$DF$​
∴​$AD = AF，$​∴​$AF = CF$​
又​$AD＞AC$​
∴​$AF = CF＞AC，$​即​$\triangle ACF $​是等腰三角形
D
$2^{2024}$
解：​$(1)$​∵​$\triangle ABE$​和​$\triangle ACD$​都是等边三角形
∴​$AB = AE，$​​$AC = AD，$​
​$∠B = ∠BAE = ∠CAD = 60°$​
∴​$∠BAE+∠CAE = ∠CAD+∠CAE，$​
即​$∠BAC = ∠EAD$​
在​$\triangle BAC$​和​$\triangle EAD$​中
​$\begin {cases}AB = AE\\∠BAC=∠EAD\\AC = AD\end {cases}$​
∴​$\triangle BAC≌\triangle EAD(S AS)$​
∴​$∠B = ∠AED，$​​$BC = ED，$​即​$∠AED = 60°$​
​$(2)\triangle AMN$​是等边三角形， 理由如下：
由​$(1)$​得​$∠B = ∠BAE = ∠AED = 60°，$​
​$BC = ED，$​​$AB = AE$​
又​$M，$​​$N$​分别是线段​$BC$​和​$DE$​的中点
∴​$BM=\frac 12BC，$​​$EN=\frac 12ED，$​即​$BM = EN$​
在​$\triangle ABM$​和​$\triangle AEN$​中
​$\begin {cases}AB = AE\\∠B=∠AEN\\BM = EN\end {cases}$​
∴​$\triangle ABM≌\triangle AEN(S AS)$​
∴​$AM = AN，$​​$∠BAM = ∠EAN$​
∴​$∠BAM-∠EAM = ∠EAN-∠EAM，$​
即​$∠BAE = ∠MAN，$​即​$∠MAN = 60°$​
∴​$\triangle AMN$​是等边三角形
C
3

证明：连接​$ME，$​​$MD，$​​$NE，$​​$ND$​
∵​$BD，$​​$CE$​是​$\triangle ABC$​的高
∴​$∠BDC = ∠BDA = ∠BEC=∠AEC = 90°$​
又​$M$​是​$BC$​的中点，​$N$​是​$AO$​的中点
∴​$ME=\frac 12BC，$​​$MD=\frac 12BC，$​
​$NE=\frac 12\ \mathrm {A}O，$​​$ND=\frac 12\ \mathrm {A}O$​
即​$ME = MD，$​​$NE = ND$​
∴​$MN$​垂直平分​$DE$​
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