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解：​$(1) $​如图​$①，$​作点​$B$​关于河边所在直线的对称点​$B'，$​连接​$AB'$​交河边于点​$P，$​则此时​$P A + PB$​的值最小
​$(2) ① $​如图​$②，$​作点​$P $​关于边​$BC$​所在直线的对称点​$P'，$​连接​$P'Q{交}BC$​于点​$R，$​连接​$PQ，$​​$PR$​
此时​$\triangle PQR $​的周长最小，则点​$R $​即为所求
② 如图③，分别作​$P，$​​$Q $​两点关于射线​$OB，$​​$OA$​的对称点​$C，$​​$D，$​连接​$CD$​分别交​$OA，$​​$OB$​于​$M，$​​$N$​两点，
此时四边形​$PQMN$​的周长最小​$. $​则​$M，$​​$N$​两点即为所求
​$(3) ① $​如图​$④，$​根据轴对称的性质和''两点之间线段最短''，得以河流​$l$​为对称轴，
作点​$A$​关于河流​$l$​所在直线的对称点​$A'，$​连接​$A'B，$​交河流​$l$​于点​$M，$​则点​$M$​即为所作
② 如图⑤，作法：​$(\mathrm {I}) $​过点​$A$​作​$AE// l，$​在射线​$AE$​上截取​$AA' = a$​
​$(Ⅱ) $​作点​$B$​关于河流​$l$​所在直线的对称点​$B'，$​连接​$A'B'$​交河流​$l$​于点​$N；$​
​$(Ⅲ)$​在河流​$l$​上点​$N$​的左侧截取​$MN = a，$​交河流​$l$​于点​$M，$​则​$M，$​​$N$​两点即为所作
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