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$5000$
$8.33$
$15\leq x\lt17$
解：​$(1)$​由题意，得​$z$​的取值范围
为​$2.5×10^3≤z≤ 3.4×10^3$​
当​$z$​取最小值，即​$z=2.5×10^3$​时，
​$ y≥2.45×10^3，$​即​$y$​的最小值为​$2.45×10^3$​
同 理，得​$x$​的最小值为​$2445$​
当​$z$​取最大值，即​$z=3.4×10^3$​时，
​$y≤3.44×10^2，$​即​$y$​的最大值为​$3.44×10^3$​
同理，得​$x$​的最大值为​$3444$​
综上，数​$x$​的最小值和最大值分别是​$2445$​和​$3444$​
​$(2)$​由​$(1)，$​得数​$x$​的最大值是​$3444，$​
数​$x$​的最小值是​$ 2445$​
∴​$ 3444−2445=999≈ 1×10^3$​
$11.5$
解：​$(1)$​∵​$\sqrt {17}$​可化为​$ \sqrt {4^2+1}$​
∴由近似公式得​$\sqrt {17}= \sqrt {4^2+1}$​
​$≈4+\frac 1{2×4}=4+\frac 18=4.125，$​
即​$ \sqrt {17}$​的近似值为​$4.125$​
​$(2)$​∵​$n＜ \sqrt m＜n+1，$​且​$m，$​​$n$​为正整数
∴​$n^2＜m＜(n+1)^2，$​即​$m $​的所有可能取值
为​$n^2+1，$​​$n^2+2，$​···，​$n^2+2n$​
设​$ \sqrt m $​所有可能取值之和为​$S$​
则​$S= \sqrt {n^2+1}+ \sqrt {n^2+2}+···+\sqrt {n^2+2n}$​
由近似公式，得​$S≈n+\frac 1{2n}+n+\frac 2{2n}+···+n+\frac {2n}{2n}$​
​$=n· 2n+\frac {1+2+···+2n}{2n}=2n^2+n+\frac 12$​
即​$ \sqrt m $​所有可能取值之和的近似值为​$2n^2+n+\frac 12$​
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