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解：∵​$y + |\sqrt {x} - \sqrt 3| = 1 - a^2$​
∴​$y - 1 = -a^2 - |\sqrt {x} - \sqrt 3|$​
又​$a^2 \geq 0，$​​$|\sqrt {x} - \sqrt 3| \geq 0$​
∴​$y - 1 \leq 0，$​即​$y \leq 1$​
同理，由​$|x - 3| = y - 1 - b^2，$​得​$y - 1 \geq 0$​
∴​$y \geq 1，$​即​$y = 1$​
∴​$-a^2 - |\sqrt {x} - \sqrt 3| = y - 1 = 0，$​
​$|x - 3| + b^2 = y - 1 = 0$​
∴​$x = 3，$​​$a = b = 0，$​即​$x + y = 4，$​​$a + b = 0$​
∴​$2^{x + y} + 2^{a + b} = 2^4 + 2^0 = 17$​
∵​$(\pm \sqrt {17})^2 = 17$​
∴​$2^{x + y} + 2^{a + b}$​的平方根为​$\pm \sqrt {17}$​
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解：​$(1)$​∵​$\mathrm {m^2} = (-7)^2，$​​$n^3 = (-3)^3$​
∴​$m = \pm 7，$​​$n = -3$​
即​$m + n = 7 - 3 = 4$​或​$m + n = -7 - 3 = -10$​
则​$m + n$​的值为​$4$​或​$-10$​
​$(2) $​由题意，得​$\sqrt {16} = 4$​
∴​$a = \sqrt [3]{-27} + \sqrt 4 = -3 + 2 = -1$​
∵​$(-4)^3 ＜ -47 ＜ (-3)^3，$​∴​$b = -3$​
∴​$5a + b = 5×(-1) + (-3) = -8$​
∵​$-8$​的立方根为​$-2，$​∴​$5a + b$​的立方根为​$-2$​
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解：​$(1)$​∵​$2 - x \geq 0，$​∴​$x \leq 2，$​即​$x - 3 ＜ 0$​
∴原式​$= 3 - x - (2 - x) = 1$​
​$ (2) $​由题图，得​$b ＜ 0 ＜ a，$​​$|b| ＞ |a|$​
∴​$a - b ＞ 0，$​​$a + b ＜ 0$​
∴原式​$= a - b - (-a - b) = 2a$​
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