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第58页

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解：$(1)\triangle ACH$是直角三角形，理由如下：

∵$CH = 0.6\ \mathrm {km}，$$AH = 0.8\ \mathrm {km}，$$AC = 1\ \mathrm {km}$

∴$CH^2+AH^2=0.6^2+0.8^2 = 1，$$AC^2=1^2=1$

∴$CH^2+AH^2=AC^2$

∴$∠AHC = 90°，$$\triangle ACH$是直角三角形

$(2)$设$AB = BC = x\mathrm {km}$

又$CH = 0.6\ \mathrm {km}，$则$BH=(x - 0.6)\mathrm {km}$

由$(1)，$得$∠AHC = 90°$

又$∠AHC+∠AHB = 180°$

∴$∠AHB = 180°-∠AHC = 90°$

在$Rt\triangle AHB$中，$AH = 0.8\ \mathrm {km}$

由勾股定理，得$BH^2+AH^2=AB^2，$

即$(x - 0.6)^2+0.8^2=x^2，$解得$x=\frac 56$

则路线$AB$的长为$\frac 56\ \mathrm {km}$