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第57页

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30°或150°

解：$(1)\triangle ABC$是直角三角形，理由如下：

∵$\triangle ABC$的三边长分别是$a，$$b，$$c$

且$a = n^2-1，$$b = 2n，$$c = n^2+1$

∴$a^2+b^2=(n^2-1)^2+(2n)^2$

$=n^4-2n^2+1 + 4n^2=n^4+2n^2+1，$

$c^2=(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$

即$a^2+b^2=c^2$

∴$\triangle ABC$是直角三角形，且$∠C = 90°$

$ (2)$∵以$b$为直径的半圆面积为$2\pi$

∴$\frac 12\pi ·(\frac {b}2)^2=2\pi ，$解得$b = 4$

又$b = 2n，$∴$2n = 4，$解得$n = 2$

又$a = n^2-1，$∴$a = 3$

由$(1)$得$∠C = 90°$

∴$\triangle ABC$的面积为

$\frac 12ab=\frac 12×3×4 = 6$

$ (3)$∵以$a，$$b$为直径的半圆面积分别为$p，$$q$

∴$p=\frac 12\pi ·(\frac {a}2)^2=\frac {\pi a^2}8，$

$q=\frac 12\pi ·(\frac {b}2)^2=\frac {\pi b^2}8$

由$(1)$得$a^2+b^2=c^2$

∴以$c $为直径的半圆面积为

$\frac 12\pi ·(\frac {c}2)^2=\frac {\pi c^2}8=\frac {\pi (a^2+b^2)}8$

$=\frac {\pi a^2}8+\frac {\pi b^2}8=p + q$

45°或135°

证明：$(1)$∵$∠ACB = 90°，$$CD\perp AB$

∴$S_{\triangle ABC}=\frac 12BC·AC=\frac 12\ \mathrm {A}B·CD$

∵$AC = b，$$BC = a，$$AB = c，$$CD = h$

∴$ab = ch，$即$a^2b^2=c^2\ \mathrm {h}^2$

在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^2+BC^2=AB^2$

∴$a^2+b^2=c^2，$即$a^2b^2=(a^2+b^2)h^2$

∴$\frac {a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac 1{h^2}，$即$\frac {a^2}{a^2b^2}+\frac {b^2}{a^2b^2}=\frac 1{h^2}$

∴$\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}=\frac 1{h^2}$

$(2)$由$(1)$得$a^2+b^2=c^2，$$ab = ch$

∴$a^2+b^2＜c^2+h^2$

∴$a^2+b^2+2ab＜c^2+h^2+2ch$

又$(a + b)^2=a^2+b^2+2ab，$

$(c + h)^2=c^2+h^2+2ch$

∴$(a + b)^2＜(c + h)^2$

又$a + b>0，$$c + h>0$

∴$a + b＜c+h$

$(3)$解：以$a + b，$$h，$$c + h $为三边长的三角形是

直角三角形，理由如下：

由$(1)$得$a^2+b^2=c^2，$$ab = ch$

∴$h^2+(a + b)^2=h^2+a^2+2ab + b^2$

$=h^2+2ch + c^2，$

$(c + h)^2=c^2+2ch + h^2$

∴$(a + b)^2+h^2=(c + h)^2$

∴以$a + b，$$h，$$c + h $为三边长的三角形是直角三角形