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解：​$ (2)$​将图​$③$​的侧面沿高展开，如图①
由题意可知，彩条的最短长度是指侧面展开图中线段​$EG $​的长
∵直四棱柱的上、下底面是正方形，底面边长为​$3\ \mathrm {cm}，$​绕侧面两周，∴​$EF = 3×4×2 = 24(\mathrm {cm})$​
又∵高​$FG = 10\ \mathrm {cm}。$​在​$Rt\triangle EFG $​中，可得​$EG=\sqrt {EF^2+FG^2}=\sqrt {24^2 + 10^2}=26(\mathrm {cm})$​
​$ $​则彩条的最短长度为​$26\ \mathrm {cm}$​

​$ (3)$​将图​$④$​的侧面沿高展开，如图②
​$ $​作点​$P $​关于直线​$MN$​的对称点​$P'，$​过点​$Q $​作​$QS\perp MS $​于点​$S，$​连接​$P'Q，$​​$MP$​
则​$∠P'SQ = 90°，$​​$P'，$​​$M，$​​$P $​三点共线
∴该蚂蚁爬行的最短路径长是线段​$P'Q $​的长
由题意得，​$SQ=\frac 12×30 = 15(\mathrm {cm})，$​​$MP' = MP = 2\ \mathrm {cm}，$​​$MS= 35 - 1 = 34(\mathrm {cm})$​
∴​$P'S = MP' + MS = 2 + 34 = 36(\mathrm {cm})$​
​$ $​在​$Rt\triangle P'SQ $​中，可得​$P'Q=\sqrt {P'S^2+SQ^2}=\sqrt {36^2 + 15^2}=39(\mathrm {cm})$​
​$ $​则这只蚂蚁爬行的最短路径长为​$39\ \mathrm {cm}$​
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