解：$(1)$由题意，得$CD = 2t$
在$Rt\triangle ABC$中，$AB = 20，$$BC = 15$
由勾股定理得$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=\sqrt {20^2+15^2} = 25$
∴$AD = AC - CD = 25 - 2t$
当$t = 2$时，$CD = 4，$$AD = 21$
$(2)$能，∵$∠C＜90°$
∴当$\triangle CBD$为直角三角形时，
有$∠CBD = 90°$或$∠CDB = 90°$两种情况
$① $若$∠CDB = 90°，$则$S_{\triangle ABC}=\frac 12BD·AC=\frac 12\ \mathrm {A}B·BC$
由$(1)$得$CD = 2\ \mathrm {t}，$$AC = 25，$且$AB = 20，$$BC = 15$
∴$BD=\frac {AB·BC}{AC}=\frac {20×15}{25}=12$
$ $在$Rt\triangle BCD$中，由勾股定理，得$CD^2+BD^2=BC^2$
∴$(2\ \mathrm {t})^2+12^2=15^2，$解得$t = 4.5($负值已舍去$)$
$② $若$∠CBD = 90°，$则$A，$$D$两点重合
∴$2t = 25，$解得$t = 12.5$
综上，$t $的值为$4.5$或$12.5$
$(3)$由$(1)，$得$CD = 2\ \mathrm {t}$
过点$B$作$BE\perp AC$于点$E$
$ $同$(2)，$得$BE = 12$
在$Rt\triangle BCE$中，由勾股定理，得
$CE=\sqrt {BC^2-BE^2}=\sqrt {15^2-12^2} = 9$
∵$\triangle CBD$是等腰三角形
∴有$BC = BD$或$BC = CD$或$BD = CD$三种情况
$① $当$BC = BD$时，$CD = 2CE$
∴$2t = 2×9，$解得$t = 9$
$② $当$BC = CD$时，$2t = 15，$解得$t = 7.5$
$③ $当$BD = CD$时，$BD = 2t，$$DE = 2t - 9$
在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理，得$BE^2+DE^2=BD^2$
∴$12^2+(2t - 9)^2=(2t)^2，$解得$t = 6.25$
综上，当$t $的值为$9$或$7.5$或$6.25$时，$\triangle CBD$是等腰三角形
