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(3，-2)
(1，3)
6
解：​$(2)$​∵点​$P $​的坐标为​$(a，$​​$b)，$​且点​$P $​在​$x$​轴上
∴​$b = 0$​
又​$2a - 3\ \mathrm {m} + 1 = 0，$​​$3b - 2\ \mathrm {m} - 16 = 0，$​
解得​$m = - 8，$​​$a =-\frac {25}2$​
则点​$P $​的坐标为​$(-\frac {25}2，$​​$0)$​
又点​$P'$​的坐标为​$(a + 15，$​​$b + 4)$​
∴点​$P'$​的坐标为​$(\frac 52，$​​$4)$​
​$(3)$​∵​$2a - 3\ \mathrm {m} + 1 = 0，$​​$3b - 2\ \mathrm {m} - 16 = 0，$​
∴​$a=\frac {3\ \mathrm {m} - 1}2，$​​$b=\frac {2\ \mathrm {m} + 16}3。$​
又​$a\leqslant 4​$
∴​$\begin {cases}\frac {3\ \mathrm {m} - 1}2\leqslant 4\\\frac {2\ \mathrm {m} + 16}3＞4\end {cases}，$​
解得​$-2＜m\leqslant 3$​
则​$m $​的最小整数值为​$-1$​
(-1，11)

解：​$(1) \triangle A'B'C'$​如图所示：
​$ $​点​$B'$​的坐标是​$(-1，$​​$1)，$​点​$C'$​的坐标是​$(3，$​​$1)$​
把​$\triangle ABC$​先向上平移​$3$​个单位长度，
再向右平移​$2$​个单位长度，得到​$\triangle A'B'C'$​
​$ (2) $​由图得​$S_{\triangle ABC}=\frac 12×4×3 = 6$​
​$ (3) $​设点​$P $​的坐标为​$(0，$​​$y_{0})$​
由图得​$BC = 4，$​点​$P $​到​$BC$​的距离为​$\vert y_{0} + 2\vert$​
由​$(2)，$​得​$\triangle ABC$​的面积为​$6，$​
且​$\triangle BCP $​与​$\triangle ABC$​的面积相等
∴​$\frac 12×4×\vert y_{0} + 2\vert = 6$​
​$ $​解得​$y_{0} = 1$​或​$y_{0} = - 5$​
∴点​$P $​的坐标为​$(0，$​​$1)$​或​$(0，$​​$-5)$​
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