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解：由题意，得$a - 2\geq 0，$$2 - a\geq 0，$∴$a\geq 2，$$a\leq 2，$即$a = 2$

∴$b^2=1$

又$|b|+b＞0，$∴$b＞0，$即$b = 1$

∴原式$=\frac {2025}{1×2}+\frac {2025}{2×3}+\frac {2025}{3×4}+···+\frac {2025}{2024×2025}$

$ =2025×(\frac 1{1×2}+\frac 1{2×3}+\frac 1{3×4}+···+\frac 1{2024×2025})$

$ =2025×(1-\frac 12+\frac 12-\frac 13+\frac 13-\frac 14+···+\frac 1{2024}-\frac 1{2025})$

$ =2025×(1-\frac 1{2025})$

$ =2024。$

解：$(1)$设长方形硬纸片的长为$x\mathrm {cm}，$宽为$y\mathrm {cm}$

由题意，得$x = 2y，$且$x^2=900，$解得$x = 30($负值已舍去$)$

∴$y = 15$

∴长方形硬纸片的宽为$15\ \mathrm {cm}$

$ (2)$够用

由题意，得该正方体无盖笔筒的棱长为$\sqrt [3]{512}=8(\mathrm {cm})$

$ $又$3×8 = 24(\mathrm {cm})，$$24＜30，$$8＜15$

∴该正方形硬纸片够用

$ $又制作该正方体无盖笔筒共需要$5$张边长为$8\ \mathrm {cm} $的正方形硬纸片

∴需要硬纸片的总面积为$5×8^2=320(\mathrm {cm}^2)$

∴剩余的硬纸片面积为$900 - 320 = 580(\mathrm {cm}^2)$