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$(\sqrt{12},\sqrt{12}-2)$
$-\frac{7}{2}\leq m\leq\frac{5}{2}$
解：​$ (1)$​由题意，得​$|x| = 4，$​​$|y| = 2$​
∴​$x=\pm 4，$​​$y = \pm 2$​
∴点​$P $​的坐标是​$(4，$​​$2)$​或​$(4，$​​$- 2)$​或​$(-4，$​​$- 2)$​或​$(-4，$​​$2)$​
​$ (2)$​由题意，得​$|y| = 3|x|，$​∴​$y = 3x$​或​$y = - 3x$​
分类讨论如下：
​$ $​当​$y = 3x$​时，∵​$y - x = 8，$​∴​$2x = 8，$​解得​$x = 4，$​则​$y = 12$​
∴点​$P $​的坐标为​$(4，$​​$12)$​
​$ $​当​$y = - 3x$​时，∵​$y - x = 8，$​∴​$-4x = 8，$​解得​$x = - 2，$​则​$y = 6$​
∴点​$P $​的坐标为​$(-2，$​​$6)$​
综上，点​$P $​的坐标为​$(4，$​​$12)$​或​$(-2，$​​$6)$​
​$ (3)$​由题意，得​$|x| = |y|，$​∴​$x = y$​或​$x = - y$​
分类讨论如下：
​$ $​当​$x = y$​时，∵​$xy = - 9，$​∴​$y^2 = - 9，$​此时该方程无实数解，舍去；
​$ $​当​$x = - y$​时，∵​$xy = - 9，$​∴​$-y^2 = - 9，$​解得​$y = \pm 3$​
​$ $​当​$y = 3$​时，​$x = - 3；$​当​$y = - 3$​时，​$x = 3$​
∴点​$P $​的坐标是​$(3，$​​$- 3)$​或​$(-3，$​​$3)$​
解：​$(1)$​如图，​$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$​即为所作
​$ (2)$​如图，​$\triangle A_{2}B_{1}C_{2}$​即为所作
​$ (3)$​建立平面直角坐标系如图，点​$A_{1}$​的坐标为​$(2，$​​$6)，$​
点​$A_{2}$​的坐标为​$(-2，$​​$2)$​
​$ (4)$​由​$(3)，$​得点​$A_{1}$​的坐标为​$(2，$​​$6)，$​点​$A_{2}$​的坐标为​$(-2，$​​$2)$​
∴点​$A_{1}$​关于​$x$​轴的对称点的坐标为​$(2，$​​$-6)，$​
点​$A_{2}$​关于​$y$​轴的对称点的坐标为​$(2，$​​$2)$​
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