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解：​$(1)$​由题意得点​$B$​的横坐标为​$-2×2 + 6 = 2，$​点​$B$​的纵坐标为​$-2+2×6 = 10$​
∴点​$B$​的坐标为​$(2，$​​$10)$​
​$ (2)$​∵点​$N$​在​$x$​轴上，∴点​$N$​的纵坐标为​$0$​
​$ $​由题意得点​$N$​的横坐标为​$3\ \mathrm {m} + 2\ \mathrm {m} - 1 = 5\ \mathrm {m} - 1，$​点​$N$​的纵坐标为​$m + 3(2\ \mathrm {m} - 1)=7\ \mathrm {m} - 3$​
∴​$7\ \mathrm {m} - 3 = 0，$​解得​$m=\frac 37，$​则​$5\ \mathrm {m} - 1=\frac 87$​
∴点​$N$​的坐标为​$(\frac 87，$​​$0)$​
解：∵四边形​$OABC$​是长方形，​$OA = 10，$​​$OC = 8$​
∴​$∠B=∠OCB = 90°，$​​$BC = OA = 10，$​​$AB = OC = 8$​
由折叠的性质，得​$AE = OA = 10，$​​$DE = OD$​
​$ $​在​$Rt\triangle ABE$​中，由勾股定理，得​$BE^2=AE^2-AB^2=6^2$​
∴​$BE = 6，$​∴​$CE = BC - BE = 4$​
∴点​$E$​的坐标为​$(4，$​​$8)$​
​$ $​设​$DE = OD = m，$​则​$CD = OC - OD = 8 - m$​
​$ $​在​$Rt\triangle CDE$​中，由勾股定理，得​$CD^2+CE^2=DE^2$​
∴​$(8 - m)^2+4^2=\mathrm {m^2}，$​解得​$m = 5$​
∴​$OD = 5，$​∴点​$D$​的坐标为​$(0，$​​$5)$​
$(2,0)$
$(0,-6)$
$45$
解：​$(2)$​由​$(1)$​得点​$A$​的坐标为​$(2，$​​$0)，$​点​$B$​的坐标为​$(0，$​​$-6)，$​​$∠DAE = 45°，$​则​$OB = 6$​
∴线段​$AD$​先向左平移​$2$​个单位长度，再向下平移​$6$​个单位长度得到线段​$BC$​
​$ $​又点​$D$​的坐标为​$(6，$​​$4)，$​∴点​$C$​的坐标为​$(4，$​​$-2)$​
由平移的性质，得​$AD// BC，$​∴​$∠BEO=∠DAE = 45°$​
​$ $​又​$∠BEO+∠OBE = 90°$​
∴​$∠OBE = 90°-∠BEO = 45°，$​即​$∠BEO=∠OBE$​
∴​$OE = OB = 6。$​又点​$E$​在​$x$​轴的正半轴上，∴点​$E$​的坐标为​$(6，$​​$0)$​
​$ (3)$​由​$(2)$​得​$∠BEO = 45°。$​∵​$P A＞AE，$​∴分类讨论如下：
① 如图①，当点​$P $​在点​$A$​的左侧时，连接​$P C$​
∵​$∠P CB=∠AP C+∠BEO，$​∴​$∠P CB-∠AP C = 45°$​
② 如图②，当点​$P $​在点​$E$​的右侧时，连接​$CP$​
∵​$∠BEO+∠PEC = 180°，$​∴​$∠PEC = 180°-∠BEO = 135°$​
又​$∠P CB=∠PEC+∠AP C，$​∴​$∠P CB-∠AP C = 135°$​
综上，​$∠AP C$​与​$∠P CB$​之间的数量关系是​$∠P CB-∠AP C = 45°$​
或​$∠P CB-∠AP C = 135°$​
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