解:$(1)$∵函数$y=(2m + 1)x + m - 3$的图象平行于直线$y = 3x - 3$
∴$2m + 1 = 3$且$m - 3\neq - 3$
$ $由$2m + 1 = 3,$得$2m=3 - 1,$$2m = 2,$解得$m = 1$
$ m - 3\neq - 3,$即$m\neq 0,$∴$m = 1$
$ (2)$∵这个函数是一次函数,且$y$随$x$的增大而减小
∴$2m + 1<0$
解得$m<- \frac 12$