解：（1）因为$B(-2,0)，$所以$OB = 2，$
因为$S_{\triangle ABO}=2，$点$A$在$y$轴正半轴上，所以$\frac{1}{2}OB\cdot OA = 2，$即$\frac{1}{2}\times2\times OA = 2，$解得$OA = 2，$
所以$A(0,2)，$
因为直线$y = kx + b$经过$A，$$B$两点，将$A(0,2)，$$B(-2,0)$代入得$\begin{cases}b = 2\\-2k + b = 0\end{cases}，$
把$b = 2$代入$-2k + b = 0$得$-2k+2 = 0，$$-2k=-2，$解得$k = 1，$
所以直线$AB$对应的函数表达式为$y = x + 2。$
（2）由题意得$P(-2 + t,0)，$$Q(t,0)，$$M(-2 + t,t)，$
所以$MP = t，$$PQ=t-(-2 + t)=2，$
因为$MP\perp x$轴，所以$S_{\triangle MPQ}=\frac{1}{2}MP\cdot PQ=\frac{1}{2}\times t\times2=t(0\leqslant t\leqslant2)。$
（3）存在，
因为$QN\perp x$轴交直线$AB$于点$N，$所以$N(t,t + 2)，$$NQ=t + 2，$
因为$OA = OB = 2，$所以$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$\angle ABO=\angle BAO = 45^{\circ}，$
又$NQ\perp x$轴，所以$\angle BQN = 90^{\circ}，$$\angle QNB = 90^{\circ}-\angle ABO = 45^{\circ}，$
因为$P，$$B$两点不重合，所以$M，$$B$两点不重合，$\angle MQB\gt0^{\circ}，$
因为$\angle NMQ=\angle MQB+\angle ABO，$所以$\angle NMQ\gt45^{\circ}，$即$\angle NMQ\gt\angle QNB，$所以$MQ\neq NQ，$
当$MN = NQ$时，过点$M$作$MC\perp NQ$于点$C，$则四边形$MCQP$为长方形，$MC = PQ = 2，$$QC = MP = t，$
所以$NC = NQ - QC=t + 2 - t = 2，$
在$Rt\triangle MCN$中，由勾股定理得$MN^{2}=MC^{2}+NC^{2}=4 + 4 = 8，$$MN=\sqrt{8}，$
所以$NQ=\sqrt{8}，$$t + 2=\sqrt{8}，$解得$t=\sqrt{8}-2；$
当$MQ = MN$时，同理可得$MQ=\sqrt{8}，$
在$Rt\triangle MPQ$中，由勾股定理得$MP^{2}+PQ^{2}=MQ^{2}，$即$t^{2}+2^{2}=(\sqrt{8})^{2}，$$t^{2}+4 = 8，$$t^{2}=4，$解得$t = 2$（负值舍去）。
综上，当$t$的值为$2$或$\sqrt{8}-2$时，$\triangle MNQ$为等腰三角形。
