解：（1）设直线$l$的函数表达式为$y = kx + b，$
将$A(3,0)，$$B(0,2)$代入得$\begin{cases}3k + b = 0\\b = 2\end{cases}，$
把$b = 2$代入$3k + b = 0$得$3k+2 = 0，$$3k=-2，$解得$k = -\frac{2}{3}，$
所以直线$l$的函数表达式为$y = -\frac{2}{3}x + 2。$
（2）因为$A(3,0)，$$B(0,2)，$所以$OA = 3，$$OB = 2，$
在$Rt\triangle OAB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}，$
因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC = 90^{\circ}，$$AC = AB=\sqrt{13}，$
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times\sqrt{13}=\frac{13}{2}。$
（3）连接$BP，$$OP，$$AP，$
对于$y = -\frac{2}{3}x + 2，$令$x = 1，$得$y = -\frac{2}{3}\times1 + 2=\frac{4}{3}，$
因为$P(1,a)，$
①当$a\geqslant\frac{4}{3}$时，$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\times3\times2 = 3，$$S_{\triangle OAP}=\frac{1}{2}OA\cdot y_P=\frac{1}{2}\times3\times a=\frac{3}{2}a，$$S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}OB\cdot x_P=\frac{1}{2}\times2\times1 = 1，$
$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle OBP}+S_{\triangle OAP}-S_{\triangle OAB}=\frac{13}{2}，$即$1+\frac{3}{2}a - 3=\frac{13}{2}，$$\frac{3}{2}a - 2=\frac{13}{2}，$$\frac{3}{2}a=\frac{13}{2}+2=\frac{13 + 4}{2}=\frac{17}{2}，$解得$a=\frac{17}{3}；$
②当$0\leqslant a\lt\frac{4}{3}$时，$S_{\triangle ABP}\lt S_{\triangle ABC}，$不符合题意，舍去；
③当$a\lt0$时，$S_{\triangle OAB} = 3，$$S_{\triangle OBP}=\frac{1}{2}OB\cdot x_P = 1，$$S_{\triangle OAP}=\frac{1}{2}OA\cdot(-y_P)=-\frac{3}{2}a，$
$S_{\triangle ABP}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle OAP}-S_{\triangle OBP}=\frac{13}{2}，$即$3-\frac{3}{2}a - 1=\frac{13}{2}，$$2-\frac{3}{2}a=\frac{13}{2}，$$-\frac{3}{2}a=\frac{13}{2}-2=\frac{13 - 4}{2}=\frac{9}{2}，$解得$a = - 3。$
综上，$a$的值为$\frac{17}{3}$或$-3。$
