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第42页

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$(-2,3)$

$3$

解：$(2)$设点$M$的坐标为$(x_{0}，$$0)$

∵点$N$的坐标为$(-2a + 1，$$-9 + 4a)，$$a$为等距平移常量

∴$x_{0}+2a=-2a + 1，$$-2a=-9 + 4a$

$ $解得$a=\frac 32，$$x_{0}=-5$

∴点$M$的坐标为$(-5，$$0)，$点$N$的坐标为$(-2，$$-3)，$$OM = 5$

∴$S_{\triangle OMN}=\frac 12OM·\vert y_{N}\vert =\frac 12×5×3=\frac {15}2$

$ (3)$∵点$M(x，$$y_{1})$的等距平移点是点$N(x + 2a，$$y_{2})，$∴$-y_{1}-2a = y_{2}$

$ $又$y_{1} - y_{2} = 2，$即$y_{1}-(-y_{1}-2a)=2，$∴$y_{1} = 1 - a，$则$y_{2}=-1 - a$

$ $又一个点到$x$轴的距离是另一个点到$x$轴距离的$2$倍

∴$\vert 1 - a\vert = 2\vert - 1 - a\vert $或$2\vert 1 - a\vert =\vert - 1 - a\vert$

$ ①$当$1 - a = 2(-1 - a)$时，$1 - a=-2 - 2a，$$a=-3；$

$ ②$当$1 - a = 2(1 + a)$时，$1 - a = 2 + 2a，$$3a=-1，$$a=-\frac 13；$

$ ③$当$2(1 - a)=-1 - a$时，$2 - 2a=-1 - a，$$a = 3；$

$ ④$当$2(1 - a)=1 + a$时，$2 - 2a = 1 + a，$$3a = 1，$$a=\frac 13。$

综上，$a$的值为$-\frac 13$或$-3$或$\frac 13$或$3$

 解：（1）在$y=\frac{3}{2}x + 3$中，令$x = 0，$得$y = 3；$令$y = 0，$得$\frac{3}{2}x+3 = 0，$$x=-2。$

 所以点$A$的坐标为$(-2,0)，$点$B$的坐标为$(0,3)。$

 因为点$C$是点$A$关于$y$轴的对称点，所以点$C$的坐标为$(2,0)。$

 把$D(-1,a)$代入$y=\frac{3}{2}x + 3$中，得$-\frac{3}{2}+3 = a，$$a=\frac{3}{2}，$所以点$D$的坐标为$(-1,\frac{3}{2})。$

 把$C(2,0)，$$D(-1,\frac{3}{2})$分别代入$y = kx + b$中，得$\begin{cases}2k + b = 0\\-k + b=\frac{3}{2}\end{cases}$

 由$2k + b = 0$得$b=-2k，$代入$-k + b=\frac{3}{2}$得$-k-2k=\frac{3}{2}，$$-3k=\frac{3}{2}，$$k=-\frac{1}{2}，$$b = 1。$

 所以直线$CD$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 1。$

 （2）存在。由（1）得点$A(-2,0)，$点$B(0,3)，$点$C(2,0)，$点$D(-1,\frac{3}{2})，$直线$CD$的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}x + 1，$则$OC = 2。$

 ${S}_{\triangle COD}=\frac{1}{2}OC\cdot y_D=\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}。$

 因为${S}_{\triangle PAB}=4{S}_{\triangle COD}，$所以${S}_{\triangle PAB}=6。$

 设点$P$的坐标为$(m,-\frac{1}{2}m + 1)，$直线$BP$的函数表达式为$y=\frac{-\frac{1}{2}m + 1 - 3}{m-0}x + 3=\frac{-\frac{1}{2}m - 2}{m}x + 3。$

 令$y = 0，$得$\frac{-\frac{1}{2}m - 2}{m}x+3 = 0，$$x=\frac{3m}{\frac{1}{2}m + 2}=\frac{6m}{m + 4}，$所以点$Q$的坐标为$(\frac{6m}{m + 4},0)。$

 $AQ=\vert\frac{6m}{m + 4}-(-2)\vert=\vert\frac{6m+2m + 8}{m + 4}\vert=\vert\frac{8m + 8}{m + 4}\vert。$

 又${S}_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AQ(y_B - y_P)=\frac{1}{2}\cdot\vert\frac{8m + 8}{m + 4}\vert\cdot[3-(-\frac{1}{2}m + 1)] = 6，$即$\vert\frac{8m + 8}{m + 4}\vert\cdot(m + 4)=24。$

 所以$8m + 8 = 24$或$8m + 8=-24，$解得$m = 2$或$m=-4。$

 所以点$P$的坐标为$(2,0)$或$(-4,3)。$

 （3）点$M$的坐标为$(-\frac{22}{5},\frac{16}{5})$或$(\frac{190}{31},-\frac{64}{31})。$