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​$ (1)$​证明：连接​$EM，$​​$DM。$​
∵​$BD\perp AC，$​​$CE\perp AB，$​​$M$​为​$BC$​的中点
在​$Rt\triangle BEC$​中，​$EM=\frac 12BC，$​在​$Rt\triangle BDC$​中，​$DM=\frac 12BC$​
∴​$EM = DM$​
又∵​$N$​为​$DE$​的中点，∴​$MN\perp DE$​
​$ (2)$​解：由​$(1)$​得​$MN\perp DE，$​​$EM=\frac 12BC，$​则​$∠ENM=90°$​
∵​$BC = 10，$​∴​$EM = 5$​
又∵​$N$​为​$DE$​的中点，​$DE = 6，$​∴​$EN=\frac 12DE = 3$​
​$ $​在​$Rt\triangle EMN$​中，由勾股定理得​$MN=\sqrt {EM^2-EN^2}=\sqrt {5^2-3^2}=4，$​则​$MN$​的长为​$4$​

解：问题一：设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是​$x\ \mathrm {g}，$​一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是​$y\ \mathrm {g}$​
​$ $​由题意得​$\begin {cases}10x + 10y = 2600\\5x + 6y = 1374\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x=186}\\{y = 74}\end {cases}$​
∴一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是​$186\ \mathrm {g}，$​一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是​$74\ \mathrm {g}$​
问题二：​$(1)$​由题意得​$W = 172a+111(100 - a)=61a + 11100$​
​$ (2)$​由​$(1)$​得​$W = 61a + 11100，$​由题意得​$a\leqslant 30$​
​$ $​因为​$61>0，$​所以​$W_{随}a$​的增大而增大
​$ $​所以当​$a = 30$​时，​$W $​取最大值，​$W_{\mathrm {max}}=61×30 + 11100=12930，$​此时​$100 - a = 70$​
​$ $​所以当购买杨树​$30$​棵，冷杉​$70$​棵时，这​$100$​棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大
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