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$(3,37^{\circ})$
证明：​$(2)$​由题意得​$OA = OA' = OB = 3，$​​$∠AOB = 74°，$​​$∠AOA' = 37°$​
∴​$∠BOA' = ∠AOB - ∠AOA' = 37°，$​即​$∠BOA' = ∠AOA'$​
​$ $​又​$OA' = OA'$​
∴​$\triangle AOA'≌\triangle BOA'(S AS)$​
∴​$A'A = A'B$​
解：​$(1)$​如图，​$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$​即为所作，
点​$B_{1}$​的坐标为​$(-2，$​​$0)$​
​$ (2)$​如图，直线​$l$​及​$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$​即为所作
直线​$l$​对应的函数表达式为​$y = - x + 1$​

​$ (1)$​证明：∵​$AC\perp BC，$​​$AD\perp BD，$​∴​$∠ACB = ∠ADB = 90°$​
​$ $​又​$E$​为​$AB$​的中点，∴​$CE = \frac 12\ \mathrm {A}B，$​​$DE = \frac 12\ \mathrm {A}B$​
∴​$CE = DE，$​即​$\triangle ECD$​是等腰三角形
​$ (2)$​解：∵​$AD = BD，$​​$E$​为​$AB$​的中点，∴​$DE\perp AB$​
​$ $​在​$Rt\triangle DEF $​中，​$DE = 4，$​​$EF = 3，$​由勾股定理，
得​$DF^2=DE^2+EF^2=5^2，$​即​$DF = 5($​负值已舍去​$)$​
​$ $​过点​$E$​作​$EH\perp CD$​于点​$H$​
​$ $​由​$(1)，$​得​$CE = DE，$​∴​$CD = 2DH$​
∵​$S_{\triangle DEF}=\frac 12EF·DE=\frac 12DF·EH$​
∴​$EH = \frac {EF·DE}{DF}=\frac {12}5$​
​$ $​在​$Rt\triangle DEH$​中，由勾股定理，得​$DH^2=DE^2-EH^2=\frac {256}{25}，$​
即​$DH = \frac {16}5($​负值已舍去​$)$​
∴​$CD = \frac {32}5$​
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